Bruchungleichung

23.09.2018, 13:40

nerd43

Bruchungleichung

Meine Frage:
Hallo zusammen,
gegeben ist die Ungleichung:

$\begin{eqnarray*} \frac{3x-9}{(x+6)(6x-3)}\geq 0 \end{eqnarray*}$

Nun sind im Nenner ja zwei Faktoren gegeben.

Meine Ideen:
Um die Ungleichung richtig zu lösen brauchen wir Fallunterscheidung.

$\begin{eqnarray*} (x+6)(6x-3)\geq0 \end{eqnarray*}$

Normalerweise brauchen wir für den Nenner zwei Fälle einmal kleiner 0 und einmal größer 0.

Das Problem ist wenn ich jetzt 0 durch (6x-3) teilen würde würde ja rechts 0 stehen.

Dann hätte ich für die erste klammer 1/2 raus. Wie macht man das jetzt aber mit der zweiten Klammer?

23.09.2018, 13:53

G230918

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
Fälle:
Zähler größer/gleich Null, Nenner größer Null.
Zähler kleiner/gleich Nulll, Nenner kleiner Null.

23.09.2018, 13:57

nerd43

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
Verstehe jetzt nicht warum ich für den Zähler eine Fallunterscheidung brauche. Teile ja gar nicht durch den Zähler. verwirrt

23.09.2018, 14:04

G230918

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
Überlege, wann ein Bruch die Bedingung erfüllt.

+/+ oder -/- ergibt Plus!

Verstehst du, worauf ich hinauswill?

23.09.2018, 14:26

nerd43

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
Nein eigentlich nicht.

23.09.2018, 14:33

G230918

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
Es gibt 2 Fälle mit Unterfällen.

3x-9>=0 u. (x+6)(6x-3)>0

3x-9 <=0 u.(x+6)(6x-3)<0

Untersuche das näher!

23.09.2018, 14:39

nerd43

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
Also:

3x-9≥0

x≥3

3x-9≤0

x≤0

und:

(x+6)(6x-3)>0

x>0

(x+6)(6x-3)<0

x>0

23.09.2018, 14:43

nerd43

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
[quote]Original von nerd43
Also:

3x-9>=0

x>=3

3x-9<=0

x<=3

und:

(x+6)(6x-3)>0

x>-6

(x+6)(6x-3)<0

x<-6

23.09.2018, 14:46

G230918

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RE: Ich komme bei der Bruchungleichung nicht weiter.
1. Fall:

3x-9>=0 u. (x+6)(6x-3)>0
x>=3 u. x>-6 u. x>1/2

--> x>=3

x>=3 u. x<-6 u.x<1/2 (Widerspruch --> entfällt

-->x>=3 --> L1=[3;+oo[

2. Fall:
analog

Und nun du!

24.09.2018, 11:04

HAL 9000

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Die von G230918 teilweise geäußerten Ideen zusammengefasst, lassen sich Ungleichungen vom Typ

$\begin{eqnarray*} \mbox{gebrochen rationaler Term} \geq 0\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

relativ schnell ohne überbordende Fallunterscheidung lösen:

1) Vollständige reelle Faktorisierung des Terms links, das betrifft Zähler wie Nenner.

2) Betrachtung der Nullstellen aller beteiligten Faktoren (soweit vorhanden) und inwieweit ein Passieren dieser Nullstellen das Vorzeichen des Gesamtterms ändert.

3) Angabe der Lösungsmenge als Vereinigung von Intervallen.

Hier bedeutet dies:

1) $\begin{eqnarray*} \frac{3(x-3)}{(x+6)6\left(x-\frac{1}{2}\right)}\geq 0 \end{eqnarray*}$ .

2) Beim Passieren aller drei relevanten Faktorennullstellen $\begin{eqnarray*} -6 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ wechselt der Gesamtterm sein Vorzeichen. Zudem ist die Ungleichung für $\begin{eqnarray*} x\to\infty \end{eqnarray*}$ erfüllt...

3) Dein Part!

P.S.:

a) Auch Ungleichungen vom Typ $\begin{eqnarray*} \mbox{gebrochen rationaler Term}_1 \geq \mbox{gebrochen rationaler Term}_2 \end{eqnarray*}$ lassen sich auf diese Weise lösen, indem man da ganze durch Subtraktion in

$\begin{eqnarray*} \mbox{gebrochen rationaler Term}_1 - \mbox{gebrochen rationaler Term}_2 \geq 0 \end{eqnarray*}$

und damit letztlich wieder (*) überführt.

b) Das Lösungsschema lässt sich natürlich auch auf die drei verwandten Typen $\begin{eqnarray*} >0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} <0 \end{eqnarray*}$ adaptieren, es gibt dann nur Nuancen in der Intervallaufstellung (z.B. hinsichtlich Zugehörigkeit der Intervallenden) zu beachten.

Zitat:

Original von nerd43 (aus einem anderen Thread)
wie findet ihr das, wenn man eine Bruchungleichungen hat, die auf beiden Seiten aus jeweils einem Bruch besteht, den Bruch auf die rechte Seite holt, sodass am Ennde auf der rechten Seite dann anschließend nur noch die Null steht und man schließlich so die Bruchungleichung löst?

Dass ich dir da zustimme, habe ich ja mit a) deutlich gemacht. Augenzwinkern

Zitat:

Original von nerd43 (aus einem anderen Thread)
Ich weiß das es nicht ganz professionell ist.

Da bin ich ganz anderer Meinung. smile

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