Dichte bestimmen

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mathebeginner Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte bestimmen
Meine Frage:
Hallo die Aufgabe lautet so :
Man soll die Dichte von Z=X+Y zweier unabhängiger Zufallsvariablen X,Y wobei X auf [0,2] gleichverteilt ist und Y exponentialverteilt mit dem Parameter a , bestimmen-



Meine Ideen:
Weil X,Y unabhängig sind darf ich die Faltungsformel andwenden :http://massmatics.de/merkzettel/#!912:Faltung ( die mit dem Integral weil Stetige Verteilung).

das Integral kann ich aufschreiben , die Verteilungen sind ja bekannt im Netz und dann auch ausrechnen . aber ich weiß nicht welche Grenze nun gehört wegen den Indikatoren.

ES muss ja einerseits x in[0,2] liegen sonst ist das Integral 0 und andererseits muss z-x größer gleich 0 sein also z größer gleich x . ist die Grenze nun 2 oder z?
Danke !
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Dichten für sind mit



Für die Faltung gilt:

Da außerhalb von verschwindet, ist der Integrand dort 0. Daher verbleibt nur noch die Integration über . Und dort ist konstant gleich . Daher folgt:



Mit der Substitution erhält man



Um nun weiterzukommen, solltest du eine Fallunterscheidung machen, ob oder oder ist.

Beim ersten Fall gilt . Gemäß Definition von folgt daher



Die beiden anderen Fälle sind ein wenig subtiler. Überlege selbst.
mathebeginner Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo ;
wenn dann muss und
das ist aber die leere Menge da ist nich zugleich größer und kleiner 2 sein kann hier ist h(x) auch 0.

für muss gelten
nach Definition von g bleibt dann zu integrieren .
die Grenzen sind dann mit x>4 , 2 und unendlich?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht richtig. Beachte, daß das Intervall immer die Breite 2 besitzt. Damit du dir das besser vorstellen kannst, ein konkretes Beispiel: . Wir haben also das Intervall vor uns. Und damit



Und was du zum Schluß sagst, ergibt keinen Sinn. Für die Integration ist wie ein Parameter zu behandeln. Das Integrationsintervall ist immer das Intervall .
mathebeginner Auf diesen Beitrag antworten »

okay ich habe falsch gedacht, ich sehe bei dir fällt die untere grenze weg , also der Teil wo x negativ ist und überlbeiben tut nur das Intervall solange .

wenn nun dann zb 3 dann hat man das Intervall [1,3] , der Indikator von f bringt das dann auf [1,2] oder?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathebeginner
wenn nun dann zb 3 dann hat man das Intervall [1,3] , der Indikator von f bringt das dann auf [1,2] oder?


Was für ein Indikator von f? Das ist doch schon längst erledigt. Gleich im ersten Schritt meiner Rechnung habe ich f "entsorgt". Die Spur, die f in der Rechnung zurückgelassen hat, macht sich nur noch im Faktor bemerkbar. Im zweiten Schritt habe ich dann eine Substitution durchgeführt. Die Formel



ist für alle gültig. Wo ist da noch ein f? Die konkrete Berechnung des Integrals hängt jetzt allerdings von ab. Das liegt aber nur daran, daß abschnittsweise definiert ist. Für erhältst du zum Beispiel

 
 
mathebeginner Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ich verstehe , die Grenzen wurden substituiert und 1/2 genommen .
Dh also wenn wegen der Definition von g betrachten wir dann nur die Grenzen 0 und x .

wenn dann also x-2 und x .

Demnach ergeben sich je nach dem wie x ist 2 verschiedene Ergebnisse:

1) für
und 2) für

?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Entscheidend ist, daß man bei 1) und 2) jetzt den Exponentialfunktionsterm verwenden darf. Ich glaube, jetzt ist der Groschen gefallen ...
mathebeginner Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Leopold!!
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