Grenzwert einer trigonometrischen Funktion

06.03.2007, 15:27	gibson	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwert einer trigonometrischen Funktion Hi all! Ich habe Probleme mit folgendem Grenzwert: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^{+}} cot(x)^{1-cos(x)} \end{eqnarray}$ Meine Lösung bis jetzt: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^{+}} cot(x)^{1-cos(x)} = \lim_{x \to 0^{+}} e^{ln(cot(x)) \cdot (1-cos(x))} \end{eqnarray}$ wobei man den konstanten faktor e rausheben kann, man betrachtet also nun nur den Teil: $\begin{eqnarray} \lim_{x \to 0^{+}} {ln(cot(x)) \cdot (1-cos(x))} = \lim_{x \to 0^{+}} {ln(\frac {cos(x)}{sin(x)}) \cdot (1-cos(x))} \end{eqnarray}$ jetzt weiß ich allerdings nicht mehr weiter gibts irgendwelche tipps?? liebe grüße
06.03.2007, 15:52	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \left( 1 - \cos{x} \right) \cdot \ln{\left( \cot{x} \right)} = \frac{\left( 1 - \cos^2{x} \right) \ln{\left( \cot{x} \right)}}{1 + \cos{x}} = \frac{\sin^2{x} \cdot \ln{\left( \frac{\cos{x}}{\sin{x}} \right)}}{1 + \cos{x}} = \frac{\sin^2{x} \cdot \ln{\left( \cos{x} \right)} - \sin^2{x} \cdot \ln{\left( \sin{x} \right)}}{1 + \cos{x}} \end{eqnarray}$ Und jetzt verwende die bekannte Beziehung $\begin{eqnarray} t \ln{t} \to 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} t \to 0 \end{eqnarray}$ , wegen der ja erst recht $\begin{eqnarray} t^2 \ln{t} \to 0 \end{eqnarray}$ folgt.

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