Distanz zwischen dem größten und dem zweitgrößten Wert einer Stichprobe

24.09.2018, 08:27

Gast7192

Distanz zwischen dem größten und dem zweitgrößten Wert einer Stichprobe

Angenommen wir haben eine Stichprobe mit n unabhängigen und identisch verteilten Zufallsvariablen, die Frechet-verteilt sind (Support >0, shape und scale irgendwelche Werte)

Ich möchte zeigen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb P (c \cdot X^{(n-1)}\geq X^{(n)})\to 0 \end{eqnarray*}$ wenn $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ ,

wobei $\begin{eqnarray*} X^{(n-1)} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^{(n)} \end{eqnarray*}$ das größte und das zweitgrößte Element der Stichprobe darstellen.

Also um es einfach auszudrücken: Die Distanz zwischen dem größten und dem zweitgrößen Element ist fast sicher unendlich, wenn n gegen unendlich geht;

Nun versuche ich das zu zeigen; Hierbei dachte ich nun an folgendes - mein Statement ist gleichbedeutend zu:
$\begin{eqnarray*} \mathbb P \bigg(\dfrac{X^{(n)}}{ X^{(n-1)}}\leq c\bigg)\to 0 \end{eqnarray*}$

Das ist aber gleichbedeutend zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty}\int\limits_0^c f_\frac{X^{(n)}}{X^{(n-1)}}(x)dx=0 \end{eqnarray*}$

für jede Konstante c>0. Das war's dann aber schon mit meinen Ideen. Da die beiden Werte nicht unabhängig sind, fällt mir keine Idee ein, wie ich die gemeinsame Diche berechnen könnte und damit weiß ich nicht weiter.

Irgendwelche Ideen?

24.09.2018, 09:08

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gast7192
Da die beiden Werte nicht unabhängig sind, fällt mir keine Idee ein, wie ich die gemeinsame Diche berechnen könnte und damit weiß ich nicht weiter.

Für $\begin{eqnarray*} u\leq v \end{eqnarray*}$ sowie mit Dichte $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ und Verteilungsfunktion $\begin{eqnarray*} F \end{eqnarray*}$ deiner Fréchet-Verteilung gilt

$\begin{eqnarray*} P\left(X^{(n-1)}\leq u,X^{(n)}\leq v\right) = P\left(X^{(n)}\leq u\right) + P\left(X^{(n-1)}\leq u,u < X^{(n)}\leq v\right) = (F(u))^n + n(F(u))^{n-1}\left(F(v)-F(u) \right) = n(F(u))^{n-1}F(v)-(n-1)(F(u))^n \end{eqnarray*}$ ,

denn bei der zweiten Teilwahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} P\left(X^{(n-1)}\leq u,{\color{red}u < X^{(n)}\leq v}\right) \end{eqnarray*}$ gibt es genau $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Möglichkeiten für die Auswahl eines Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u<X_k\leq v \end{eqnarray*}$ (für die restlichen $\begin{eqnarray*} (n-1) \end{eqnarray*}$ Indizes $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ muss dann $\begin{eqnarray*} X_i\leq u \end{eqnarray*}$ sein).

Für $\begin{eqnarray*} u>v \end{eqnarray*}$ gilt für dieselbe Wahrscheinlichkeit trivialerweise $\begin{eqnarray*} P\left(X^{(n-1)}\leq u,X^{(n)}\leq v\right) = P\left(X^{(n)}\leq v\right) = (F(v))^n \end{eqnarray*}$ .

Damit lässt sich die gemeinsame Dichte von $\begin{eqnarray*} X^{(n-1)},X^{(n)} \end{eqnarray*}$ aufstellen, durch Ableitung nach $\begin{eqnarray*} u,v \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f_{X^{(n-1)},X^{(n)}}(u,v) = n(n-1)(F(u))^{n-2}f(u)f(v)\cdot 1_{u\leq v} \end{eqnarray*}$ ,

der Indikatorfunktionsfaktor ganz hinten betont nochmal, dass für $\begin{eqnarray*} u>v \end{eqnarray*}$ diese Dichte gleich Null ist.

Vielleicht hilft das ja erstmal weiter bei deinen wie auch immer gearteten Rechnungen. Augenzwinkern

24.09.2018, 09:14

Gast7192

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Das sieht gut aus, danke...

Dann mache ich mich mal an die Arbeit das auszurechnen...

24.09.2018, 11:24

Gast7192

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Gut, dann probiere ich es mal (ich würde mich freue, wenn du dann drüber schauen könntest, ob das so stimmt:

Also dementsprechend haben wir

$\begin{eqnarray*} \mathbb P\left(\frac{X^{(n)})}{X^{(n-1)}}\leq c\right)=\int\limits_{1}^c f_{\frac{X^{(n)}}{X^{(n-1)}}}(x)dx=\int\limits_{1}^c \int \limits_{0}^\infty y f_{X^{(n-1)},X^{(n)}}(y,xy)dy dx \\<br /> =\int\limits_{1}^c \int \limits_{0}^\infty n(n-1) \frac{v}{s}\frac{v}{s}\left(\frac{y}{s}\right)^{-1-v}\left(\frac{xy}{s}\right)^{-1-v}\exp\left({-\left(\frac{y}{s}\right)^{-v}-\left(\frac{xy}{s}\right)^{-v}}\right)\exp\left({-(n-2)\left(\frac{y}{s}\right)^{-v}}\right) dy dx \\<br /> =\int\limits_{1}^c \int \limits_{0}^\infty n(n-1)v^2s^{-2(-v-1)-2}x^{-v-1}y^{-1-2v} \exp\left({-(n-1)\left(\frac{y}{s}\right)^{-v}-\left(\frac{xy}{s}\right)^{-v}}\right) dy dx \\ <br /> =c_1 \int\limits_{1}^c x^{-c_2} \int \limits_{0}^\infty n(n-1)y^{-c_3} \exp\left({-c_4(n-1)y^{-v}-c_4\left( xy\right)^{-v}}\right) dy dx \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} c_1>0 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_2>1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} c_3>1 \end{eqnarray*}$ and $\begin{eqnarray*} c_4=s^v>0 \end{eqnarray*}$ . Nun will ich das limit in das Integral ziehen, wobei mich die zwei Integrale verwirren; Ich bitte um strenge Korrektur, falls ich es falsch mache;
Ich brauche also ein Doppelintegral mit den gleichen limits (1 bis c und 0 bis unendlich) welches immer größer ist, für alle n und konvergiert, richtig?

Momentan tu ich mir da schwer, weil es für sehr kleine x (bei 0) oder sehr große x immer sehr extem wird...

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