Wahrscheinlichkeit in einer Produktion

25.09.2018, 10:26

Bytesurfer

Wahrscheinlichkeit in einer Produktion

Meine Frage:
Hallo liebes Forum,

ich sitze gerade auf der Arbeit und zerbreche mir gerade den Kopf an folgender Aufgabe:

Eine Maschine verpackt ein Produkt in 10kg Säcken ab. Dabei misst eine Waage das Gewicht der Säcke und erlaubt hierbei einen Bereich von 9,910 - 10,090kg, in insgesamt 37 Messwerten bzw. Schritten à 0,005kg, für das Sackgewicht.

Die Säcke werden in Kartons verpackt, welche auf einer Palette stehen. Insgesamt befinden sich 48 Säcke auf einer Palette, somit wiegt die Palette 480kg. Das Gewicht der Palette wird gewogen, wobei hier die Abweichung vom Soll-Gewicht (480kg) nur maximal -6kg sein darf und bei erreichen dieses Wertes, wird die Palette als fehlerhaft ausgeworfen. Die obere Abweichung ist momentan erst mal egal. Somit sind die Werte von 9,91 - 9,925kg problematisch.

Ich möchte nun die Wahrscheinlichkeit ausrechnen, bei der alle 48 verpackten Beutel die problematischen Untergewichte aufweisen bzw. auch die Mischung derer. Am Anfang mit einer Gleichverteilung und danach mit einer Normalverteilung.

Vorab sei gesagt, dass ich mich eine Weile lang schon nicht mehr mit Stochastik etc. beschäftigt habe. Ich bitte meine Unbeholfenheit zu entschuldigen.

Meine Ideen:
Ich habe mich bis zur Wikipedia-Seite "Stochastisch unabhängige Ereignisse" vorgearbeitet und mal folgende Formel ausprobiert:

$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\cap... N\right)= P\left(A\right) \cdot P\left(B\right) \cdot ...P\left(N\right) \end{eqnarray*}$

Wobei:

$\begin{eqnarray*} P\left(A\right), P\left(B\right),... P\left(N\right) =\frac{1}{37} \end{eqnarray*}$

Da vier Untergewichte problematisch sind, lande ich bei folgendem Ergebnis (wobei ich hier vermutlich einige Sachen zusammengeworfen habe, die in meinem Kopf irgendwie logisch erscheinen):

$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\cap... N\right)= \frac{4}{37^{48}} \end{eqnarray*}$

Bin ich hier schon auf dem richtigen Dampfer?

Falls ja, ist die Wahrscheinlichkeit sehr sehr klein und wird mit einer Berücksichtigung der Normalverteilung (wo ich gerade keine wirkliche Idee habe, wie ich diese Berücksichtigen kann) noch deutlich kleiner.

Vielen Dank für Eure Hilfe!

Viele Grüße,
Bytesurfer

25.09.2018, 11:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bytesurfer
Insgesamt befinden sich 48 Säcke auf einer Palette, somit wiegt die Palette 480kg. Das Gewicht der Palette wird gewogen, wobei hier die Abweichung vom Soll-Gewicht (480kg) nur maximal -6kg sein darf und bei erreichen dieses Wertes, wird die Palette als fehlerhaft ausgeworfen. Die obere Abweichung ist momentan erst mal egal. Somit sind die Werte von 9,91 - 9,925kg problematisch.

Kann ich nicht nachvollziehen: Eine Abweichung von $\begin{eqnarray*} -6~kg \end{eqnarray*}$ der gesamten Palette entspricht einer durchschnittlichen Abweichung von $\begin{eqnarray*} \frac{-6~kg}{48} = -0.125~kg \end{eqnarray*}$ pro Sack. Da alle Säcke aber mindestens $\begin{eqnarray*} 9.91~kg \end{eqnarray*}$ schwer sind (das sind also nach unten im worst-case $\begin{eqnarray*} -0.09~kg \end{eqnarray*}$ Abweichung), besteht hier doch überhaupt kein Problem! Erstaunt1

25.09.2018, 14:17

Bytesurfer

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

da hast du natürlich absolut recht! Ich bin beim formulieren der Frage in der Zeile der Waagen verrutscht Hammer

Tut mir leid!

Es sollen 3,6kg sein, anstatt der beschriebenen 6kg.

Viele Grüße,
Bytesurfer

25.09.2018, 15:52

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bytesurfer
Es sollen 3,6kg sein, anstatt der beschriebenen 6kg.

Ah, Ok. Dir ist aber klar, dass du mit dem Szenario "alle 48 Werte sind 9,925 kg oder kleiner" nur einen Teil (!) der Möglichkeiten erfasst, die zu einer Gesamtsumme <476,4 kg führen:

Nimm z.B. 47-mal 9,91 kg und einmal 10kg, da bist du bei Summe 475,77kg ....

Wenn du also wirklich die Wahrscheinlichkeit berechnen willst, mit der es zu einer Summe <476,4 kg kommt (es kommt da ungefähr $\begin{eqnarray*} 2.06\cdot 10^{-30} \end{eqnarray*}$ heraus), musst du anders rangehen.

Zitat:

Original von Bytesurfer
$\begin{eqnarray*} P\left(A\cap B\cap... N\right)= \frac{4}{37^{48}} \end{eqnarray*}$

Falls du damit die Wahrscheinlichkeit meinst, dass jeder der 48 Säcke ein Gewicht <9,925 kg hat, dann ist die

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{4}{37}\right)^{48} \approx 4.22\cdot 10^{-47} \end{eqnarray*}$ ,

ein um viele Größenordnungen zu kleiner Wert für das Ereignis <476,4 kg (s.o.).

EDIT (2.10.18): Hmm, der Fragesteller hat offenbar das Interesse verloren.

04.10.2018, 09:53

Bytesurfer

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Wahrscheinlichkeit in einer Produktion
Hallo HAL 9000,

vielen Dank für dein Antwort.

P.S. Ich habe das Interesse nicht verloren, ich war nur im Urlaub Forum Kloppe

Du hast Recht, ich habe die Kombination der Möglichkeiten vergessen. Wie muss ich denn vorgehen um diese Punkte zu berücksichtigen (und im Anschluss die Normalverteilung zu berücksichtigen)?

Ich sitze immer noch vor der Wikipedia-Formel, die jedoch nicht passend ist.

Nochmals Entschuldigung für die Sendepause meinerseits.

Viele Grüße,
Bytesurfer

04.10.2018, 15:23

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bytesurfer
P.S. Ich habe das Interesse nicht verloren, ich war nur im Urlaub Forum Kloppe

Sowas kann man auch sagen, ohne dem anderen gleich Prügel anzubieten. Da du dich aber am Ende des Beitrags entschuldigst nehme ich an, du hast dich einfach nur gravierend beim Smilie vergriffen.

04.10.2018, 15:34

Bytesurfer

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich verdutzt. Ich hab den Smiley so aufgefasst, dass ich mir selber auf den Kopf hauen lasse, weil ich vergessen habe meine Abwesenheit anzukündigen.

Dies sollte absolut nicht gegen dich gerichtet gewesen sein!

Ich lass das mit den Smileys mal lieber sein...

Gruß,
Bytesurfer

04.10.2018, 15:57

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Bytesurfer
Jetzt bin ich verdutzt. Ich hab den Smiley so aufgefasst, dass ich mir selber auf den Kopf hauen lasse, weil ich vergessen habe meine Abwesenheit anzukündigen.

Das ist m.W. nach eher der hier: Hammer

--------------------------

Führen wir zumindest den Fall der diskreten Verteilung der Sackmassen (es sind keine Gewichte Augenzwinkern

) $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ auf 9.91, 9.915, ... , 10.085, 10.090kg auf ganzzahlige Größen zurück: Das geht via linearer Transformation

$\begin{eqnarray*} M_i = 9.91 + 0.005X_i \end{eqnarray*}$ mit ganzzahligen Werten $\begin{eqnarray*} X_i\in\{0,1,\ldots,36\} \end{eqnarray*}$ .

Sei nun $\begin{eqnarray*} M=\sum_{i=1}^{48} M_i \end{eqnarray*}$ die Gesamtmasse aller Säcke, und uns interessiert das Ereignis $\begin{eqnarray*} M<480-3.6=476.4 \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} P(M<476.4) = P\left( 475.68 + 0.005\sum_{i=1}^{48} X_i < 476.4\right) = P\left( \sum_{i=1}^{48} X_i < 144\right) \end{eqnarray*}$ .

Was wir zur Bestimmung dieser Wahrscheinlichkeit rechts "zählen" müssen ist die Azahl der 48-Tupel $\begin{eqnarray*} \left(x_1,\ldots,x_{48}\right) \end{eqnarray*}$ nichtnegativer ganzer Zahlen mit

a) $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^{48} x_i \leq 143 \end{eqnarray*}$ , und

b) $\begin{eqnarray*} x_i\leq 36 \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i=1,\ldots,36 \end{eqnarray*}$

Die Kombinatorik weiß sofort eine Antwort auf a), wenn wir Bedingung b) ausblenden: Wir führen zunächst eine Schlupfvariable $\begin{eqnarray*} x_{49} \end{eqnarray*}$ ein, die ebenfalls nichtnegativ gannzahlig ist und die Lücke zur 143 schließt. Denn per Kombinationen mit Wiederholung ist klar, dass die Anzahl nichtnegativer 49-Tupel $\begin{eqnarray*} \left(x_1,\ldots,x_{49}\right) \end{eqnarray*}$ mit Summe 143 gleich $\begin{eqnarray*} \binom{49+143-1}{49-1} = \binom{191}{48} \end{eqnarray*}$ ist.

Um auch b) zu berücksichtigen, wenden wir die Siebformel an, und zwar auf Grundraum

$\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ ... Menge aller 49-Tupel $\begin{eqnarray*} \left(x_1,\ldots,x_{49}\right) \end{eqnarray*}$ nichtnegativer ganzer Zahlen mit Summe 143

sowie folgende Teilmengen davon

$\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$ ... Menge aller $\begin{eqnarray*} \left(x_1,\ldots,x_{49}\right) \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_i\geq 37 \end{eqnarray*}$ .

Was wir suchen, um sowohl a) als auch b) zu berrücksichtigen, ist die Anzahl $\begin{eqnarray*} N:=\left| \Omega \setminus \bigcup_{i=1}^{48} A_i \right| \end{eqnarray*}$ , und die ist laut Siebformel sowie der Symmetrie der $\begin{eqnarray*} A_i \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} N = \sum_{k=0}^{48} (-1)^k \binom{48}{k} \left|\bigcap_{i=1}^k A_i\right| = \sum_{k=0}^3 (-1)^k \binom{48}{k} \binom{49+143-37k-1}{49-1} = \sum_{k=0}^3 (-1)^k \binom{48}{k} \binom{191-37k}{48} = \binom{191}{48} - 48\binom{154}{48} + \binom{48}{2} \binom{117}{48} - \binom{48}{3} \binom{80}{48} \end{eqnarray*}$ ,

die Summanden für $\begin{eqnarray*} k\geq 4 \end{eqnarray*}$ fallen sämtlich weg, denn es ist bei Gesamtsumme 143 ja nicht möglich, dass vier oder mehr Tupelemente zugleich $\begin{eqnarray*} \geq 37 \end{eqnarray*}$ sind. Augenzwinkern

Es stellt sich hier heraus, dass der erste Summand (für k=0) ziemlich dominiert, d.h., wenn man b) richtiggehend "ignoriert", macht man nur einen Fehler von ca. 0.03%. Jedenfalls bekommt man damit

$\begin{eqnarray*} P(M<476.4) = P\left( \sum_{i=1}^{48} X_i < 144\right) = \frac{N}{37^{48}} \approx 2.057\cdot 10^{-30} \end{eqnarray*}$ ,

was ein deutlich größerer Wert ist als diese $\begin{eqnarray*} \left( \frac{4}{37}\right)^{48} \approx 4.22\cdot 10^{-47} \end{eqnarray*}$ .

Neue Frage »

Antworten »

Wahrscheinlichkeit in einer Produktion

Verwandte Themen