Dreifachintegral berechnen

25.09.2018, 12:32

faXXXe

Dreifachintegral berechnen

Meine Frage:
Zu lösen ist folgendes Integral: $\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \int_{}^{} \! \int_{B}^{} \! \sqrt{x^2+y^2} \, dx \, dy \, dz \end{eqnarray*}$

Der Bereich B ist beschränkt durch die Flächen $\begin{eqnarray*} z= x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z= 8- (x^2+y^2) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
hab das ganze in Zylinderkoordinaten umgeschrieben und kam auf $\begin{eqnarray*} z=r^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 8-r^2 \end{eqnarray*}$ .

Mein Integral sieht jetzt mit Grenzen so aus: $\begin{eqnarray*} \int_{r=0}^{2} \! \int_{\gamma =0}^{2*pi} \! \int_{z=r^2}^{8-r^2} \! r^2 \, dz \, d\gamma \, dr \end{eqnarray*}$

wenn ich das erste Integral auflöse komme ich auf $\begin{eqnarray*} \int_{r=0}^{2} \! \int_{\gamma =0}^{2*pi} \! (8-r^2)^3-r^6 \, d\gamma \, dr \end{eqnarray*}$

und ab hier schaut es seltsam aus und komme nicht mehr weiter. Habe ich etwas übersehen?
Danke schon mal im Voraus!

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen

25.09.2018, 12:48

HAL 9000

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RE: Dreifachintegral berechnen

Zitat:

Original von faXXXe
wenn ich das erste Integral auflöse komme ich auf $\begin{eqnarray*} \int_{r=0}^{2} \! \int_{\gamma =0}^{2*pi} \! (8-r^2)^3-r^6 \, d\gamma \, dr \end{eqnarray*}$

Du weißt schon, dass du beim innersten Integral über eine Konstante (zumindest bzgl. $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ) integrierst? Es ist daher

$\begin{eqnarray*} \int\limits_{z=r^2}^{8-r^2} r^2 ~ \dd z = \left[r^2\cdot z\right]_{z=r^2}^{8-r^2} = r^2(8-2r^2) \end{eqnarray*}$

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