Übersetzung bedingter Wahrscheinlichkeit in Logik

26.09.2018, 00:36

Pippen

Übersetzung bedingter Wahrscheinlichkeit in Logik

Ich habe folgende "Einsicht": P(A|B) <=> P(B -> A & B). Leider ernte ich nur "Häh's" und Unverständnis, wenn ich damit ankomme. Wie würdet ihr (A|B) logisch definieren oder warum macht das niemand?

26.09.2018, 06:35

adiutor62

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RE: Übersetzung bedingter Wahrscheinlichkeit in Logik
https://de.wikipedia.org/wiki/Bedingte_Wahrscheinlichkeit

https://de.serlo.org/mathe/stochastik/be...rscheinlichkeit

26.09.2018, 06:41

Dopap

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und LATEX ist immer noch zu profan für dich verwirrt

was soll B->A & B denn sein ?

26.09.2018, 07:48

HAL 9000

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Zitat:

Original von Pippen
Wie würdet ihr (A|B) logisch definieren oder warum macht das niemand?

Gar nicht, du hast die Symbolik komplett missverstanden: Es ist NICHT so gemeint, dass das Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P(\cdot) \end{eqnarray*}$ auf ein (wie auch immer definiertes) Konstrukt $\begin{eqnarray*} A\mid B \end{eqnarray*}$ angewandt wird.

Sondern es ist $\begin{eqnarray*} P(A\mid B) = P_B(A) \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} P_B \end{eqnarray*}$ ein neues, auf der Basis von $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ sowie dem Ereignis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ konstruiertes Wahrscheinlichkeitsmaß ist. Im einfachen Fall $\begin{eqnarray*} P(B)>0 \end{eqnarray*}$ ist das einfach $\begin{eqnarray*} P_B(A) := \frac{P(A\cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ , im Fall $\begin{eqnarray*} P(B)=0 \end{eqnarray*}$ (was auch möglich ist) i.d.R. deutlich komplizierter.

Ich sehe also keinen Sinn darin, $\begin{eqnarray*} A|B \end{eqnarray*}$ herauszulösen und eine eigene Bedeutung zu geben. Wenn du Bedarf danach hast, dann mach DU doch einen Vorschlag, der sich aber stimmig und widerspruchsfrei in die gängige Wahrscheinlichkeitstheorie einfügt. Kannst natürlich auch eine "neue" Wahrscheinlichkeitstheorie erfinden und dafür werben - viel Spaß. Augenzwinkern

29.09.2018, 00:37

Pippen

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RE: Übersetzung bedingter Wahrscheinlichkeit in Logik
Schauen wir uns einfach die Mengenstruktur an und lassen erstmal P außen vor, denn wenn die Mengenstruktur bei (A|B) und (B & (B -> A)) gleich ist, dass muss auch P diesbzgl. gleich sein.

1. Was bedeutet (B & ( B -> A) bei Mengen? Ganz einfach: $\begin{eqnarray*} B \cap (B^{C} \cup A) \end{eqnarray*}$ .

2. Was bedeutet (A|B)? bei Mengen? Es bedeutet, A unter der Bedingung B und B wird als fix angenommen. Wir schneiden also B mit der Menge "A unter der Bedingung B", also B -> A = ~B v A, womit genau die Menge wie unter 1. entsteht.

Wir haben es also bei 1. und 2. mit exakt den gleichen Mengen zu tun, weshalb P dahingehend auch gleich sein muss, wenn das Maß sinnvoll sein will. Also gilt tatsächlich P(A|B) = P(B & (B -> A)).

Spricht dieser (hier sehr lax vorgetragene) Beweis nicht für meine These oder wo mache ich einen Fehler?

29.09.2018, 07:15

HAL 9000

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Es ist $\begin{eqnarray*} B\cap (B^c\cup A) = B\cap A \end{eqnarray*}$ , und wenn du somit meinst, dass $\begin{eqnarray*} P(A\mid B) \stackrel{?}{=} P(B\cap A) \end{eqnarray*}$ ist, dann entwickelst du tatsächlich eine neue Wahrscheinlichkeitstheorie. Aber bereite dich darauf vor, sehr einsam zu sein, denn kein anderer wird diesem Unfug einen Sinn abgewinnen können. Big Laugh

29.09.2018, 09:04

Leopold

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Wie HAL 9000 schon sagte, ist $\begin{align*} A|B \end{align*}$ kein eigenständiges Symbol im Sinne einer Operation unter Mengen. Alle diesbezüglichen Versuche deinerseits führen ins Nirwana.

Nimm einen Betrieb $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ aus 36 Männern (Ereignis $\begin{align*} M \end{align*}$ ) und 24 Frauen. 12 Betriebsangehörige rauchen (Ereignis $\begin{align*} R \end{align*}$ ), davon 8 Männer. Stelle die Situation an einem Venn-Diagramm dar und trage in jeden der vier disjunkten Bereiche, in die $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ durch $\begin{align*} M \end{align*}$ und $\begin{align*} R \end{align*}$ zerfällt, die entsprechende Mächtigkeit ein. Was sind im Sinn von Laplace-Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(R),P(R \cap M),P(R|M) \end{align*}$ ? Es dürfte dir auch gelingen, die Bereiche $\begin{align*} R \end{align*}$ sowie $\begin{align*} R \cap M \end{align*}$ am Venn-Diagramm zu kennzeichnen. Bei $\begin{align*} R|M \end{align*}$ wirst du aber immer scheitern, einfach weil damit gar keine Teilmenge von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ angegeben wird.

Man muß zugeben, daß die Art der Bezeichnung $\begin{align*} P(A|B) \end{align*}$ nicht gerade ein Geniestreich der Wahrscheinlichkeitslehre ist, weil sie bei oberflächlichem Betrachten tatsächlich zu dem Irrtum verleiten kann (und bei dir auch erfolgreich verleitete), $\begin{align*} A|B \end{align*}$ sei wie $\begin{align*} A \cap B \end{align*}$ oder $\begin{align*} A \cup B \end{align*}$ eine mengentheoretische Operation. Aber es ist nun, wie es ist ...

01.10.2018, 00:47

Pippen

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Hm...

1. Der MP als aussagenlogische Form (p & (p -> q)) -> q läßt sich mengentheoretisch darstellen. Das ist dann schlicht das Mengenuniversum, was nicht verwundert, denn das ist eine Tautologie. Korrekt?

2. Der MP als Schlußform p, p -> q |- q läßt sich mengentheoretisch nicht ausdrücken. Zwar könnte man meinen, dass dem MP als Schlussform entspricht: $\begin{eqnarray*} B\cap (B^c\cup A) = B\cap A \end{eqnarray*}$ , doch dadurch entsteht eine Ambiguität, weil nicht mehr zwischen dem $\begin{eqnarray*} B\cap A \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} B\cap A \space NACH \space Aussonderung \space von \space B \end{eqnarray*}$ unterschieden werden kann. Korrekt?

3. (A|B) entspricht genau dem MP als Schlußform in 2., nur natürlich wäre die Conclusio q nicht mehr garantiert, sondern nur noch wahrscheinlich - wie wahrscheinlich, dass klärt dann das Maß P. Deshalb kann man die Gleichheit auch nicht mengentheoretisch zeigen. Was gäbe es sonst für Möglichkeiten, euch zu beweisen, dass (A|B) nix weiter ist als das Schema B, B -> A |- A und dann P einfach nur berechnet, wie wahrscheinlich A ist?

01.10.2018, 08:46

HAL 9000

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Bin selbst schuld: Da sag ich mir immer wieder, wenn es mal wieder in den Fingern juckt "Lass es sein, diesem Pippen zu antworten, der verschließt sein Hirn komplett jeglichen vernünftigen Gegenargumenten, und erfüllt auch in anderer Hinsicht die Trolldefinition." Und dennoch vergesse ich es hin und wieder in dem naiven Glauben, dass vielleicht doch noch was zu retten ist. Anscheinend ein Irrtum. unglücklich

01.10.2018, 10:07

Elvis

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@Pippen
Es gibt nur eine Möglichkeit, eine wahre Aussage zu beweisen : man muß einen Beweis führen. Eine falsche Aussage kann man nicht beweisen. Deine Aussagen sind sinnlos oder falsch, daher kannst du nichts beweisen.

02.10.2018, 00:51

Dopap

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Zitat:

Original von Elvis
[...] Eine falsche Aussage kann man nicht beweisen. [...]

anscheinend geht das doch:Eric Dubay hat ein Video auf YT mit dem Titel

200 Beweise, dass die Erde keine Kugel ist eingestellt.

02.10.2018, 12:55

HAL 9000

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Zitat:

Original von Dopap
200 Beweise, dass die Erde keine Kugel ist

Ist sie ja auch nicht, da gebe ich dem Eric Dubay völlig Recht: Selbst Rotationsellipsoid ist eine für viele Fälle nur unzureichende Näherung: GPS-Daten sind m.W. nach ellipsoidbasiert - für genauere Höhenangaben müssen diese Werte aber gemäß geeigneter Geoid-Modelle nachkorrigiert werden.

02.10.2018, 13:55

Dopap

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Ich weis jetzt nicht ob das Video bekannt ist, aber es geht meistens langatmig nur darum, dass - wie angeblich behauptet- keine Erdkrümmung festzustellen ist. Von Ellipsoid oder gar Geoid redet der Hohenpriester der flachen Erde Bewegung nirgends.

02.10.2018, 13:58

HAL 9000

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Ja, du musst dir an meinen Beitrag eben auch noch ein paar Ironie-Tags gedanklich dranheften. Augenzwinkern

02.10.2018, 15:47

Elvis

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Der Hohepriester braucht keinen Beweis, der Hohepriester hat seinen Glauben.
Ich verstehe nicht,
a) warum der Glaubende glaubt, Beweise führen zu können, die es nicht geben kann
b) warum der Glaubende nicht weiß, dass er keinen Beweis braucht.
Also bitte, Hohepriester und andere Trolle, hört auf mit eurem Unfug (ich weiß, dass ihr nicht aufhören könnt, zu trollen, denn das liegt in der Natur des Trolls).

02.10.2018, 16:43

Pippen

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Zitat:

Original von Pippen
Hm...

1. Der MP als aussagenlogische Form (p & (p -> q)) -> q läßt sich mengentheoretisch darstellen. Das ist dann schlicht das Mengenuniversum, was nicht verwundert, denn das ist eine Tautologie. Korrekt?

2. Der MP als Schlußform p, p -> q |- q läßt sich mengentheoretisch nicht ausdrücken. Zwar könnte man meinen, dass dem MP als Schlussform entspricht: $\begin{eqnarray*} B\cap (B^c\cup A) = B\cap A \end{eqnarray*}$ , doch dadurch entsteht eine Ambiguität, weil nicht mehr zwischen dem $\begin{eqnarray*} B\cap A \end{eqnarray*}$ und dem $\begin{eqnarray*} B\cap A \space NACH \space Aussonderung \space von \space B \end{eqnarray*}$ unterschieden werden kann. Korrekt?

3. (A|B) entspricht genau dem MP als Schlußform in 2., nur natürlich wäre die Conclusio q nicht mehr garantiert, sondern nur noch wahrscheinlich - wie wahrscheinlich, dass klärt dann das Maß P. Deshalb kann man die Gleichheit auch nicht mengentheoretisch zeigen. Was gäbe es sonst für Möglichkeiten, euch zu beweisen, dass (A|B) nix weiter ist als das Schema B, B -> A |- A und dann P einfach nur berechnet, wie wahrscheinlich A ist?

Kann jmd. zu diesen 3 Punkten noch was Sachliches schreiben? Vllt. Leopold?

02.10.2018, 21:29

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Nimm einen Betrieb $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ aus 36 Männern (Ereignis $\begin{align*} M \end{align*}$ ) und 24 Frauen. 12 Betriebsangehörige rauchen (Ereignis $\begin{align*} R \end{align*}$ ), davon 8 Männer. Stelle die Situation an einem Venn-Diagramm dar und trage in jeden der vier disjunkten Bereiche, in die $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ durch $\begin{align*} M \end{align*}$ und $\begin{align*} R \end{align*}$ zerfällt, die entsprechende Mächtigkeit ein. Was sind im Sinn von Laplace-Wahrscheinlichkeiten $\begin{align*} P(R),P(R \cap M),P(R|M) \end{align*}$ ? Es dürfte dir auch gelingen, die Bereiche $\begin{align*} R \end{align*}$ sowie $\begin{align*} R \cap M \end{align*}$ am Venn-Diagramm zu kennzeichnen. Bei $\begin{align*} R|M \end{align*}$ wirst du aber immer scheitern, einfach weil damit gar keine Teilmenge von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ angegeben wird.

Sobald du hier ein Bild hereinstellst, in dem du $\begin{align*} R|M \end{align*}$ am Venn-Diagramm markierst, antworte ich dir auch auf deine Fragen.

02.10.2018, 22:09

Pippen

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Zitat:

Original von Leopold
Sobald du hier ein Bild hereinstellst, in dem du $\begin{align*} R|M \end{align*}$ am Venn-Diagramm markierst, antworte ich dir auch auf deine Fragen.

Wir hatten ja geklärt, dass das nicht klappt, das sehe ich jetzt auch ein (mein Pkt. 2) oder ist das eine elvis-esque Art mit zu sagen, dass du mir nicht antworten wirst? verwirrt

03.10.2018, 07:44

Leopold

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Zitat:

Original von Pippen
oder ist das eine elvis-esque Art mit zu sagen, dass du mir nicht antworten wirst?

Ja.

Und wie du sicher einsiehst, haben wir durch diesen meinen Beitrag jetzt ein Paradoxon erzeugt. Womit wir einen schönen Abschluß deiner logischen Überlegungen hätten.
Aber bitte lies das hier nicht. Dann kannst du nämlich weiterschwurbeln.

03.10.2018, 23:33

Pippen

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Zitat:

Original von Leopold

Dann kannst du nämlich weiterschwurbeln.

Wie meine 3 Punkte Schwurbelei - also Unsinn - sein sollen, erschließt sich mir zwar nicht, aber bitte.

04.10.2018, 08:10

Elvis

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Bitte was? Was behauptest du, und was kannst du beweisen? Alle Experten sind sich einig, dass du Unsinn behauptest und nichts beweisen kannst.

04.10.2018, 12:39

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Was behauptest du?

Ich behaupte, dass P(A|B) = P(A & B)/P(B) = P((B -> A) & B |- A).

04.10.2018, 12:49

Elvis

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Du hast mich falsch zitiert. Originalzitat: Was behauptest du, und was kannst du beweisen?

04.10.2018, 15:25

Leopold

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Man könnte natürlich analog zur logischen Implikation auch für Mengen $\begin{align*} (B \to A) = A \cup \overline{B} \end{align*}$ definieren. Aber dann gilt, darauf HAL schon vor Urzeiten hingewiesen:

$\begin{align*} \left( B \to A \right) \cap B = \left( A \cup \overline{B} \right) \cap B = \left( A \cap B \right) \cup \underbrace{\left( B \cap \overline{B} \right)}_{\emptyset} = A \cap B \end{align*}$

Deine Gleichung

$\begin{align*} \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P \left( \left( B \to A \right) \cap B \, \left| \ \overline{A} \right. \right) \end{align*}$

kann äquivalent umgeformt werden zu

$\begin{align*} \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = P \left( A \cap B \, \left| \ \overline{A} \right. \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P \left( \overline{A} \cap A \cap B \right)}{P \left( \overline{A} \right)} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{P \left( \emptyset \right)}{P \left( \overline{A} \right)} \end{align*}$

$\begin{align*} \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 0 \end{align*}$

$\begin{align*} P(A \cap B) = 0 \end{align*}$

Deine Gleichung besagt daher nichts anderes, als daß $\begin{align*} A \cap B \end{align*}$ eine Nullmenge ist. Und das Ganze wegen der auftretenden Nenner auch noch unter der Voraussetzung $\begin{align*} P(B) \neq 0 \end{align*}$ und $\begin{align*} P(A) \neq 1 \end{align*}$ .

Und wozu soll das Ganze jetzt gut sein?

07.10.2018, 02:19

Pippen

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Neue These: P(A|B) = P(A & B) / P(B), P(B) darf nicht 0 sein = P(B -> A, B darf nicht falsch sein) = P(B-Komplement vereinigt mit A, wobei B nicht leer sei).

Ich ziehe das letztlich aus diesem Video (erste 9 min. sehen reicht): https://www.youtube.com/watch?v=MWAWjCUuDUs Das zeigt auch, dass meine Idee keineswegs Schwurbelei war. Die Frage ist nun: Könnte das sein oder ergibt sich aus o.g. Gleichheit wieder irgendwas Absurdes?

01.12.2018, 00:02

Pippen

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P(A|B) = P(A & B) / P(B) = P(B & (B -> A)) / P(B).

So wird ein Schuh draus und P(A|B) entmystifiziert: eine bedingte Wahrscheinlichkeit ist nichts weiter als die Wahrscheinlichkeit einer Implikation unter einem bestimmten Antecedens (Bedingung) im Verhältnis zur Wahrscheinlichkeit des Antecedens überhaupt (Bedingung). Bedingte Wahrscheinlichkeit und Implikation hängen also doch untrennbar zusammen.

01.12.2018, 11:51

Elvis

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In der bedingten Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p(A|B)=\frac {p(A\cap B)}{p(B)} \end{eqnarray*}$ stehen Mengen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als Elemente einer $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ -Algebra. Ein Wahrscheinlichkeistsmaß $\begin{eqnarray*} p:\Sigma \to [0,1] \end{eqnarray*}$ ordnet Mengen eine Zahl zu.
In der Aussagenlogik ist $\begin{eqnarray*} A\wedge B \end{eqnarray*}$ äquivalent zu $\begin{eqnarray*} B\wedge (B\rightarrow A) \end{eqnarray*}$ .

Logische Operatoren lassen sich nicht auf Mengen anwenden, und Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich nicht auf Aussagen anwenden. Also ist das, was du geschrieben hast, absolut und total falsch.

In dem YouTube-Video versucht der Dozent die Schüler zu motivieren, indem er auf Ähnlichkeiten zwischen einem Beispiel aus der Aussagenlogik (Modus Ponens) und Begriffen der Wahrscheinlichkeitstheorie (bedingte Wahrscheinlichkeit) verweist. Er merkt selbst, dass er da kompletten Unsinn redet, denn er sagt (6:45-6:50) "... at least roughly speaking, exactly it's not, it's not perfectly true ..."

Nachtrag: Hallo Dopap, da haben wir gleichzeitig genau dasselbe gesagt. Wink

01.12.2018, 11:51

Dopap

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ja sehr schön.
Nur ist deine Implikation so wie geschrieben eine Subjunktion in logischen Variablen.
Eine Implikation ist eine Folgerung bei Aussagen. ( wann verwendest du eigentlich endlich mal Latex, denn da gibt es den Pfeil als auch den Doppelpfeil und beide auch mit 2 Spitzen )

Und bei bedingten Wahrscheinlichkeiten geht es um Ereignisse, also um Mengen.

$\begin{eqnarray*} p(B\land(B\to A)) \end{eqnarray*}$ bereitet mir deshalb Unbehagen.

edit: beide um 11:51 Augenzwinkern

01.12.2018, 12:04

Leopold

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Zitat:

Original von Leopold
Man könnte natürlich analog zur logischen Implikation auch für Mengen $\begin{align*} (B \to A) = A \cup \overline{B} \end{align*}$ definieren.

Nur als Friedensangebot ...

01.12.2018, 12:09

Dopap

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Zitat:

Original von Elvis
[...]

Nachtrag: Hallo Dopap, da haben wir gleichzeitig genau dasselbe gesagt. Wink

Nein nein, ich habe nur mit einfachen Worten versucht meinem "Unbehagen" Ausdruck zu verleihen, während du mathematisch und präzise die Sache auf den Punkt gebracht hast...

Zuviel der Ehre Tränen

01.12.2018, 20:43

Pippen

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Zitat:

Original von Elvis
Logische Operatoren lassen sich nicht auf Mengen anwenden,

Die Vereinigung von Mengen wird als (aussagenlogische) Disjunktion definiert, wie alle anderen Mengenoperationen übrigens auch.

Zitat:

und Wahrscheinlichkeitsmaße lassen sich nicht auf Aussagen anwenden.

Letztlich ist doch alles, was irgendwie Information mitteilt, eine Aussage. So gesehen ist ein Wahrscheinlichkeitsmaß eine Aussage, die aus anderen Aussagen heraus folgt.

Mir ging's nur um die Äquivalenz von A & B und B & (B -> A). Ich habe in der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit nur diesen Teil ausgetaucht, um zu zeigen, dass die bedingte Wahrscheinlichkeit durchaus was mit der Implikation bzw. dem mp als Schluß zu tun hat. Richtig ist natürlich, dass die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit nicht in Gänze aussagenlogisch ausdrückbar ist, weil in dieser Sprache die Multipikation/Division nicht auszudrüken ist.

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