Hauptachsentransformation Rotation

26.09.2018, 17:57

MasterWizz

Hauptachsentransformation Rotation

Hey Leute,

ich habe ein kleines Problem bei der Vorstellung der Drehrichtung in folgendem Beispiel:
$\begin{eqnarray*} q(\vec{x}) = \vec{x}^\top\!\begin{pmatrix} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}\vec{x} + \begin{pmatrix} -20\sqrt{2} \\ -16\sqrt{2} \end{pmatrix}^\top\!\vec{x}+31=0 \end{eqnarray*}$

Es ergeben sich die Eigenwerte mit den normierten Eigenvektoren:
$\begin{eqnarray*} \begin{array}{ll} \lambda_1=1: & v_1^*=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1\end{pmatrix}\\ \lambda_2=9: & v_2^*=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1\end{pmatrix} \end{array} \end{eqnarray*}$

Mit der Drehmatrix $\begin{eqnarray*} S=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und der Koordinatentransformation $\begin{eqnarray*} \vec{x}=S\vec{y} \end{eqnarray*}$ ergibt sich die Quadrik in Hauptachsenlage:
$\begin{eqnarray*} q(\vec{y})=\vec{y}^\top\!\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 9\end{pmatrix}\vec{y} + \begin{pmatrix} -4 \\ -36\end{pmatrix}^\top\!\vec{y}+31=0 \end{eqnarray*}$

Meine Frage dazu ist jetzt Folgende:
Wieso ergibt die Rechnung das richtige Ergebnis, wenn doch eigentlich $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die Achsen der Ellipse um $\begin{eqnarray*} \varphi=-45^\circ \end{eqnarray*}$ drehen sollte? Oder umgedreht: Wegen $\begin{eqnarray*} \vec{y}=S^\top\!\vec{x} \end{eqnarray*}$ erwartet man doch, dass sich das ursprüngliche Koordinatensystem um $\begin{eqnarray*} \varphi=45^\circ \end{eqnarray*}$ im mathematisch positiven Sinn drehen sollte, oder? Das Ergebnis der Rechnung zeigt aber die Drehung in die genau entgegengesetzte Richtung.

27.09.2018, 11:43

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MasterWizz
wenn doch eigentlich $\begin{eqnarray*} S \end{eqnarray*}$ die Achsen der Ellipse um $\begin{eqnarray*} \varphi=-45^\circ \end{eqnarray*}$ drehen sollte?

Die Achsen der Ellipse bleiben erhalten - was sich dreht, sind die Achsen des beschreibenden Koordinatensystems: Sieht man sich z.B. den Punkt $\begin{eqnarray*} P=(1,0) \end{eqnarray*}$ auf der $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Achse an, so wird der via $\begin{eqnarray*} \vec{y}=S^T\vec{x} \end{eqnarray*}$ in den Punkt $\begin{eqnarray*} P'=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,1) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \vec{y} \end{eqnarray*}$ -Koordinaten überführt, als Grafik:

[attach]48042[/attach]

Wie man sieht, sind die $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ -Achsen gegenüber den $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ -Achsen um -45° verdreht.

Du hast das wahrscheinlich damit verwechselt, dass die y-Koordinatenwerte (!) so aussehen, als wären sie um +45° gegenüber den x-Koordinatenwerten gedreht. Ja, ist nicht so einfach mit der Betrachtungsperspektive. Augenzwinkern

27.09.2018, 21:12

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort, Hal. Ich habe das Gefühl ich müsste es jetzt verstehen, aber es macht für mich noch immer keinen Sinn, tut mir Leid unglücklich

Eine Drehung um den Winkel $\begin{eqnarray*} \varphi \end{eqnarray*}$ im mathematisch positiven Sinn wird doch durch die Multiplikation mit der Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\\sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bewirkt.

Zitat:

Wie man sieht, sind die $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ -Achsen gegenüber den $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ -Achsen um $\begin{eqnarray*} -45^\circ \end{eqnarray*}$ verdreht.

Das heißt es müsste jetzt gelten: $\begin{eqnarray*} \vec{y}=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ -1 & 1\end{pmatrix}\vec{x} \end{eqnarray*}$ , da auf diese Weise die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ -Achsen um $\begin{eqnarray*} -45^\circ \end{eqnarray*}$ gedreht werden. Aber die Koordinatentransformation im Beispiel dreht doch in die entgegengesetzte Richtung.

EDIT: Ich glaube ich habe wirklich nur ein Betrachtungsproblem...
Kann es sein, dass in unserem Beispiel $\begin{eqnarray*} \vec{y}=S^\top\!\vec{x} \end{eqnarray*}$ einfach nur die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ -Koordinaten eines jeden Punktes in die Darstellung von $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ -Koordinaten transformiert? Dadurch bleibt der Punkt selbst an Ort und Stelle, nur "Blickwinkel" ändert sich, weshalb es so wirkt, als ob sich das gesamte Koordinatensystem in die andere Richtung dreht?

02.10.2018, 11:11

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von MasterWizz
Kann es sein, dass in unserem Beispiel $\begin{eqnarray*} \vec{y}=S^\top\!\vec{x} \end{eqnarray*}$ einfach nur die $\begin{eqnarray*} x_k \end{eqnarray*}$ -Koordinaten eines jeden Punktes in die Darstellung von $\begin{eqnarray*} y_k \end{eqnarray*}$ -Koordinaten transformiert? Dadurch bleibt der Punkt selbst an Ort und Stelle, nur "Blickwinkel" ändert sich, weshalb es so wirkt, als ob sich das gesamte Koordinatensystem in die andere Richtung dreht?

Genau das habe ich oben mit meinem Beitrag ausdrücken wollen.

19.02.2021, 01:42

MasterWizz

Auf diesen Beitrag antworten »

Hey HAL, ich weiß der Post ist schon ewig alt, aber ich hab dir nie für deine Antwort hier gedankt. Gerade habe ich wieder 2h über das Thema nachgedacht und bin wieder auf diesen Post gestoßen und es hat mich getroffen wie der Blitz. Logisch, ich habs direkt wieder verstanden. Der "Blickwinkel"!! Vielen vielen Dank für deine Arbeit hier im Forum! smile

19.02.2021, 13:11

hawe

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich hab mal was zur Anschauung der HAT gemacht. Je nach dem wie man die Eigenvektoren zusammen klöppelt gibt es ja unterschiedliche Wege.

[attach]52730[/attach]

Zum Probieren
https://www.geogebra.org/m/jybmgrce

Wenn die Wurzeln exakt eingehen sollen muss die Eingabe im CAS direkt erfolgen, in Zeile 5
--> (5) C:={5,5,31,8,-20sqrt(2),-16sqrt(2)}

Durchtauschen der Drehmatrix [EVx]...

und die Arbeit von HAL kann ich auch nicht hochgenug schätzen, na ja, Nomen est Omen;-)

Neue Frage »

Antworten »

Hauptachsentransformation Rotation

Verwandte Themen