Extremstellen, Taylorpolynom

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guest31 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremstellen, Taylorpolynom
Folgende Aufgabe:

[attach]48044[/attach]

Ich habe herausbekommen, dass (-2,-2) ein lokales maximum ist, was auch das richtige Ergebnis ist. Das Taylorpolynom sieht dann so aus: . Wie schließe ich jetzt daraus, dass (-2,-2) sogar das globale Maximum ist? Für (-2,-2) gilt P(-2,-2)=0, aber ich verstehe nicht ganz wie ich jetzt vom Taylorpolynom auf ein globales Maximum schließen kann.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremstellen, Taylorpolynom
Zwei Anmerkungen:

1) In die Taylorformel hat sich leider ein Fehler eingeschlichen: Der letzte Summand lautet richtigerweise

,

diesen Faktor haben die Aufgabensteller anscheinend "vergessen".

2) Auch mit dieser Korrektur ist NICHT das Taylorpolynom zu , sondern zu . Diese Verschiebung bewirkt, dass das tatsächliche Taylerpolynom zu in Wahrheit ist. Da selbst auch nur ein Polynom vom Grad 2 ist, muss am Ende sogar für alle gelten, was eine Kontrollrechnung auch bestätigt.



Fehler 1) korrigiert ändert sich deine Formel zu .
guest31 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich verstehe was du meinst aber jetzt verwirrt mich die Aufgabe noch etwas mehr Big Laugh

Wenn ich also nun das "Taylorpolynom zweiter Ordnung von f im Punkt (a_1,a_2)" angeben soll, muss ich dann berechnen oder ? Ich denke zweiteres


Und wie schließt man danach darauf dass (-2,-2) ein globales Maximum ist? Ich hab das Gefühl dass ich da ein Brett vor dem Kopf habe.

Die Hesse-Matrix sollte sein:

-2 1
1 -2

Ich habe jetzt ins zweite eingesetzt und komme auf (hoffentlich habe ich mich nicht verrechnet)


f(a_1,a_2) ist ja 8 und der zweite Summand entfällt.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von guest31
Die Hesse-Matrix sollte sein:

-2 1
1 -2

Richtig, und die ist negativ definit - Punkt 1.

Zitat:
Original von guest31
und der zweite Summand entfällt.

Zwangsläufig, denn so ist ja bestimmt worden, als Nullstelle der ersten Ableitung (Gradient) - Punkt 2.

Beides zusammen ergibt, dass im Punkt (und damit im Punkt der Verschiebung wegen) ein globales Maximum hat, d.h.

.
guest31 Auf diesen Beitrag antworten »

Mein Problem ist die Argumentation warum es ein GLOBALES Maximum ist und nicht nur ein lokales.

Gradient = 0 und negativ definite Hesse-Matrix bedeutet, dass ein lokales Maximum vorliegt, aber die Funktion könnte ja rein theoretisch gegen +unendlich divergieren soweit ich das verstanden habe und dann gäbe es kein globales Maximum. Wir wissen jetzt dass die Funktion nur eine LOKALE Extremstelle, nämlich ein lokales Maximum hat aber das muss ja noch nicht heißen dass diese Stelle auch das globale Maximum ist.

Wie kann ich argumentieren, dass die Funktion nicht divergiert, sondern immer <= 8 bleibt? Den Limes für x bzw y gegen +unendlich und -unendlich betrachten und zeigen, dass dabei stets -unendlich, also sicherlich <= 8, rauskommt?
guest31 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich denke ich habs jetzt.

Der Definitionsbereich ist konvex. Die Hesse Matrix ist negativ definit. Aus diesen 2 Voraussetzungen folgt, dass die Funktion konkav ist. Und ein lokales Maximum einer konkaven Funktion ist automatisch ein globales Maximum
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von guest31
Mein Problem ist die Argumentation warum es ein GLOBALES Maximum ist und nicht nur ein lokales.


Zitat:
Original von HAL 9000
.

Das war durchaus für ALLE gemeint - nicht nur für welche aus der Umgebung von (0,0). Somit war das bereits die Antwort auf die Frage "globales" Maximum. Forum Kloppe
guest31 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber man kann doch nicht von 1.Ableitung=0 und 2.Ableitung<0 (bzw Gradient=0 und Hessematrix negativ definit) auf ein globales Maximum schließen, oder? Wie kommst du also auf das "<=" Zeichen, dass das hier für alle x1,x2 gilt und nicht nur in einer Umgebung?

f(x)=x^3-x^2 hätte dann ja nach dieser Argumentation bei x=0 ein globales Maximum weil dort 1. Ableitung 0 ist und die 2. Ableitung <0.
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