Momentenerzeugende Funktion - Poisson

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Perry Auf diesen Beitrag antworten »
Momentenerzeugende Funktion - Poisson
Meine Frage:
Hallo zusammen, ich möchte gerne die momentenerzeugende Funktion der Poisson-Verteilung durch den Erwartungswert von herleiten. Dabei ist die Poisson-Verteilung und meine ZV

Um genau zu sein ist mein Ziel, folgende Gleichheit zu zeigen.

exp

Meine Ideen:
Aus der Definition einer momentenerzeugenden Funktion ergibt sich:


1. kläglicher Versuch, durch Potenzreihenschreibweise und Umformungen



2. Versuch, über die Definition des Erwartungswertes. Nach Def. gilt:



Hier muss ich erstmal die Verteilung einsetzen und erhalte (?, nicht ganz sicher: )


Muss ich hier nun auch die Potenzreihenschreibweise nutzen?


Ich weiß, dass man sich diese Formel auch anders herleiten kann, würde es aber für meine Arbeit durch die Erwartungswert benötigen.

Vielen Dank ich Vorraus.

Gruß, Perry
Perry Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Momentenerzeugende Funktion - Poisson
Zitat:
Original von Perry

Um genau zu sein ist mein Ziel, folgende Gleichheit zu zeigen.

exp


Ich meine natürlich
exp
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir doch damit an: Wie berechnet man den Erwartungswert der Funktion einer diskreten Zufallsgröße ?

Das ist , wobei die Summe über alle möglichen Werte genommen wird, die die Zufallsgröße annehmen kann.

Für die hier relevante Funktion bedeutet das

,

dabei nehme ich an, dass der Parameter deiner Poissonverteilung ist (was du leider nirgendwo erwähnt hast).

Zitat:
Original von Perry
2. Versuch, über die Definition des Erwartungswertes. Nach Def. gilt:


Durchaus richtig, allerdings kommst du mit dem diskreten Maß anscheinend nicht zurecht:

Es ist keineswegs (das hintere soll wohl das Lebesguemaß darstellen - nette Symbolkollision zum vorderen , dem Parameter der Poissonverteilung Augenzwinkern ), sondern es ist



mit dem Dirac-Maß auf dem Punkt . Die Rechnung in diesem Maßtheorie-Kontext lautet dann

,

womit wir wieder bei dem Term von oben sind.
Perry Auf diesen Beitrag antworten »

Ich danke dir vielmals. Habe meine Fehler erkannt smile
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