Lösbarkeit lin GLS A*x=b prüfen

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Marius99 Auf diesen Beitrag antworten »
Lösbarkeit lin GLS A*x=b prüfen
Hallo,

da mir vorhin schon so Super geholfen wurde, dachte ich mir ich stelle gleich noch eine Frage, bzw Gedankengang ins Froum. War mir nicht sicher ob ich das in den vorigen Beitrag hätte posten sollen oder ob es richtig war einen neuen Beitrag zu erstellen.

Gegeben ist wieder eine Matrix. Nun gilt es zu beweisen/begründen ob das lin GLS lösbar ist oder nicht. A*x=b

Also jetzt mal unabhängig davon wieviele Lösungen es hat, wenn es Lösbar ist, dann gilt rang(A) = rang(A|b). Sprich der Rang von A ist gleich dem Rang der erweiterten Matrix. Also wäre es lösbar. Umgekehrt gilt wenn rang (A) =/ rang(A|b), dann ist das GLS nicht mehr lösbar.

Ich habe aber nur A gegeben, also kann ich ja keine wirkliche Aussage Treffen ob es lösbar ist oder nicht wenn ich kein b gegeben habe oder?

Vl kann ich eine Bedinung für den Spaltenvektor b machen. Sprich wenn dieser die Bedinung erfüllt, so ist das GLS lösbar, wenn nicht, dann nicht?

LG Marius
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Rang von A gleich 4 ist, ist das LGS Ax=b eindeutig lösbar für jedes b. Es lohnt sich auf jeden Fall, den Rang zu bestimmen oder (besser) das homogene LGS (b=0) zu lösen. Man weiß doch, wie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit der Lösung für das homogene LGS aussieht (nämlich spezielle Lösung + Lösungsraum des homogenen LGS).
 
 
Marius99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, ich habe jetzt den Rang bestimmt, dieser sollte 3 sein. Die determinante ist = 0, von daher dürfte das mit dem Rang stimmen.


Zitat:
Man weiß doch, wie die allgemeine Lösung in Abhängigkeit der Lösung für das homogene LGS aussieht (nämlich spezielle Lösung + Lösungsraum des homogenen LGS).


Ich verstehe hierbei leider nur Bahnhof :/


LG Marius
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist jetzt eine ziemlich blöde Situation, denn ohne die Kenntnis dessen, was du da zitiert hast, braucht man sich mit dem Thema lineare Gleichungssysteme nicht weiter beschäftigen. Ein kleiner Versuch:

Seien v eine Lösung des homogenen Systems, also A*v = 0, und w eine Lösung des inhomogenen Systems, also A*w = b, dann ist auch v+w eine Lösung des inhomogenen Systems, denn es gilt: A * (v+w) = A*v + A*w = 0 + b = b .

Aussagen zur Lösbarkeit von A*x = b kannst du nur sinnvoll machen, wenn du auch das b kennst. Die Matrix A hast du ja angegeben. Wie sieht es nun mit dem b aus?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

3. und 4. Zeile von der 1. Zeile subtrahieren und zur 2. Zeile addieren ergibt Rang(A)=2, also deutlich weniger als 3. Wenn im Vektor b=(u,v,w,x) bei diesen Operationen u und v verschwinden, ist das LGS lösbar, sonst nicht. Jetzt muss man daraus nur noch die Relationen für die Komponenten von b ableiten - ein Einzeiler. Wie man sieht, gibt es eine Aufgabe, die man auch ohne Theorie lösen kann. smile
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