Gleichungsketten

29.09.2018, 20:52	Strahl	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungsketten Wenn man eine Gleichungskette (wenn man das überhaupt so nennt) hat mit: T1 = T2 = ... = Tn , T = Term Gibts dazu irgendwelche allgemeinen Sätze/Regeln über deren Lösbarkeit (Und falls ja, gibts bestimmte besonders leichte herangehensweisen?) ? Z.b. Unter welchen Voraussetzungen kann man nach n Variablen auflösen. Im Netz habe ich nichts dazu gefunden. Mich wunderts aus folgendem Grund: Gegeben: T1=T2=T3 mit 3 Variablen. Ich hab mal ein paar Aufgaben gesehen, da soll nun nach einer Vriablen umgeformt werden, bei der dann ein exaktes Ergebnis, also ohne Variablen rauskommt. Das wundert mich aber: Denn ich dachte um bei 3 Variablen eine (oder auch alle) exakt bestimmen zu können, braucht man 3 Gleichungen. Die Gleichungen in diesem Fall sind glaube ich allerdings gegeben durch: 1. T1 = T2 2. T1 = T3 Die Gleichung T2 = T3 kann man dann durch Äquivalenzumformung erhalten, ist also keine 3. "richtige" Gleichung. Also hatte man nur 2 Gleichungen gebraucht, um ein exaktes Ergebnis bei 3 Variablen zu erhalten. Deshalb die Frage, ob das iimmer funktioniert bei so einer Kette oder ob das nur spezielle Einzelfälle waren oder was auch immer, ich denke ihr wisst was ich meine. PS: Keine Ahnung ob das Uni oder Schulthema ist, ich befinde mich auf jeden Fall auf Schulniveau, deshlab poste ichs mal hier.
29.09.2018, 21:21	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungsketten Hallo Strahl, wie du richtig erkannt hast, ist eine "Gleichungskette" der Form $\begin{eqnarray} T_1 = T_2 = T_3 .... = T_n \end{eqnarray}$ äquivalent zu einem Gleichungssystem aus insgesamt $\begin{eqnarray} n-1 \end{eqnarray}$ (und nicht etwa $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ ) Gleichungen. Ebenfalls ist richtig, dass man in der Regel für eine eindeutige Auflösung eines Gleichungssystems für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Unbekannte auch ebensoviele, also $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ voneinander unabhängige Gleichungen benötigt. Davon kann es allerdings auch gewisse Ausnahmen geben. Falls du also zum letzten Punkt genaueres erfahren möchtest, würde ich dir empfehlen, hier einmal ein solches Beispiel konkret vorzulegen.
30.09.2018, 00:49	Strahl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungsketten Hallo rumar, danke für deine Antwort! Ein Beispiel wäre: $\begin{eqnarray} a\cdot \left(b-x\right)= c\cdot b=y \cdot \left(a+c\right) \end{eqnarray}$ y,x = Parameter , b zum auflösen Wie das aufgegangen ist weiss ich (mittlerweile) auch, ich schreib mal einen möglichen Lösungsweg grob hin: -Aus T2 und T3 bildet man: a (b;c) (also a von b und c) -Aus T2 und T1 bildet man: c (b;a) -c (b;a) einsetzen in a (b;c) Nun hat man eine Gleichung bei der rechts und links ein a ist, welches durch Teilung der Gleichung durch a weg fällt. Zu wissen, dass sowas nur der Ausnahmefall ist war schon sehr hilfreich. Falls es aber irgendwelche Regeln gibt mit denen man erkennen kann, wann ein Gleichungssystem mit einer Gleichung weniger auskommt, wäre natürlich auch nicht schlecht.
30.09.2018, 09:21	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} T_1-T_2=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T1-T_3=0 \end{eqnarray}$ sind die relevanten Gleichungen. Ob die algebraisch lösbar sind hängt vom Inhalt der Gleichungen ab. im Beispiel habe ich $\begin{eqnarray} b_{1/2}=\frac { c+2y\pm \sqrt{c^2+4yc - 4yx+4y^2} }{2} \end{eqnarray}$
30.09.2018, 10:14	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungsketten Guten Tag ! $\begin{eqnarray} T_1=T_2 \end{eqnarray}$ lautet : $\begin{eqnarray} \qquad \qquad \ a\cdot (b-x)=c\cdot b \end{eqnarray}$ und aus $\begin{eqnarray} T_2=T_3 \end{eqnarray}$ folgt: $\begin{eqnarray} \qquad a\cdot y = c\cdot (b-y) \end{eqnarray}$ Aus diesen beiden Gleichungen kann man (setzen wir $\begin{eqnarray} a\ne 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c \ne 0 \end{eqnarray}$ voraus) schließen: $\begin{eqnarray} \qquad \qquad \frac{a}{c}\ =\ \frac{b}{b-x}\ =\ \frac{b-y}{y} \end{eqnarray}$ Damit hat man (rechts) tatsächlich eine Gleichung nur noch für b, x und y , welche man auf diese Form bringen kann: $\begin{eqnarray} \qquad \qquad b^2 - b\, (x+2\,y) + x\, y = 0 \end{eqnarray}$ Nach b aufgelöst: $\begin{eqnarray} \qquad\qquad b_{1/2}\ =\ \frac{1}{2} \cdot \left(x+2\, y \pm \sqrt{x^2 + 4\, y^2}\right) \end{eqnarray}$
30.09.2018, 14:25	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungsketten Noch eine Bemerkung zur Anzahl der Gleichungen und der Unbekannten: Wir haben hier 2 Gleichungen und nur eine einzige Unbekannte (das $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ ), also keineswegs mehr Unbekannte als Gleichungen. Du bezeichnest x und y als "Parameter", aber außerdem kommen ja noch die (offenbar konstant vorzugebenden) Werte $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ vor. Diese gehören aber offensichtlich nicht zu den gesuchten "Unbekannten", und (wie schon in meiner anderen Antwort gezeigt), "kürzen" diese sich sogar aus der Rechnung heraus. Und so nebenbei: Mich würde noch interessieren, aus welchem genauen (geometrischen?) Zusammenhang das Gleichungssystem eigentlich hervorgegangen ist. LG , rumar
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01.10.2018, 00:50	Strahl	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungsketten Das war eine typische Textaufgabe der Form: "A benötigt 5 Minuten weniger als B, zusammen brauchen sie 1 Minute, wie lang benötigt B allein?" (Oder so ähnlich, war vielleicht auch etwas anders) Ja stimmt, a und c sind konstante Unbekannte. Soweit ich mich erinnere waren das die Geschwindigkeiten. b die benötigte Zeit von B nach der man auflösen soll. Hätte man dann im Vorfeld beim aufstellen der Gleichungen schon sagen können: "Da a und c nur von b abhängig, kann ihr Verhältnis ebenfalls nur von b abhängen , somit muss man beim umformen jeweils eine Gleichung erhalten, welche nur von b abhängt"?
04.10.2018, 12:41	rumar	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabe rekonstruiert Hallo Strahl, ich habe jetzt für die Beispiels-Aufgabe eine passende Formulierung gefunden: "Für die Erledigung eines bestimmten Arbeitspensums benötigt Anton x Minuten weniger als Berta. Wenn sie die Arbeit zusammen erledigen, schaffen sie das Pensum in y Minuten. Wie lange braucht Berta allein ?" Ein (rechnerisch "nettes") Zahlenbeispiel ergibt sich beispielsweise mit x=7 und y=12. Von den beiden rechnerischen Lösungen der sich ergebenden quadratischen Gleichung kommt praktisch natürlich nur die eine in Frage: $\begin{eqnarray} \qquad\qquad b\ =\ \frac{1}{2} \cdot \left(x+2\, y +\, \sqrt{x^2 + 4\, y^2}\right) \end{eqnarray}$

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