Konvergenzradius bestimmen - was bei divergenten Folgen?

30.09.2018, 15:57

Kaimera

Konvergenzradius bestimmen - was bei divergenten Folgen?

Hallihallo, im Hinblick auf meinen Ana I- Zweitversuch in einer Woche moechte ich hier gerne ein paar Fragen stellen bzw. Loesungen durchgehen. Im Netz habe ich dazu leider nur spaerlich oder mehrdeutig interpretierbare Loesungen gefunden.

Aufgabenstellung: Bestimme den Konvergenzradius der jeweiligen Reihe.

1) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {(x-3)^k}{(k^2-k+5)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} r=\frac{1}{a} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a = \frac{1}{\lim_{k \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k} | } \end{eqnarray*}$ komme ich per Quotientenkriterium (da ich keine Ahnung habe, wie ich da das Wurzelkriterium/Cauchy-Hadamard anwenden soll) auf den Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r=1 \end{eqnarray*}$ . Nun kann das Quotientenkriterium fuer den Fall =1 keine Aussage treffen.
Hier bin ich mir noch sicher, richtig gerechnet zu haben.

2) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {x^{2k}}{2^k} \end{eqnarray*}$ habe ich umgeformt in $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {1}{2^k}\cdot x^{2k} \end{eqnarray*}$ . Im Netz habe ich gesehen, dass ich substituieren kann, also $\begin{eqnarray*} z=\sqrt{x^2} \end{eqnarray*}$ . Nun bekomme ich $\begin{eqnarray*} r_z = 2 \end{eqnarray*}$ raus. In dem betreffenden Beispiel wurde dann einfach die Wurzel gezogen, also $\begin{eqnarray*} r_x = \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ . An dieser Stelle verstehe ich nicht ganz, wieso das mit dem Substituieren klappt und bin mir total unsicher was ich tun soll, wenn mal andere Variablen da stehen (siehe Versuch unten).

3) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } \frac {x^{k}}{k*2^{k}} \end{eqnarray*}$ wollte ich wegen $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ umformen zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac {x^{k}}{k*2^{k}} - \frac{1}{0} \end{eqnarray*}$ was aber nicht definiert waere. Also habe ich den Index einfach mal ignoriert, bin mir aber unsicher, ob man das darf! Komme $\begin{eqnarray*} r=2 \end{eqnarray*}$

--- Rest folgt, ich muss gerade leider abbrechen weil mein Ladekabel wohl den Geist aufgegeben hat und mein Akku fast leer ist >.<

Vielleicht kann mir jemand ja schon was zu den ersten drei Aufgaben sagen. Ich fuehle mich total unsicher dabei, als ob ich im Dunklen rumstochere.

30.09.2018, 18:19

PWM

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RE: Konvergenzradius bestimmen - was bei divergenten Folgen?
Hallo,

1) Überprüfe noch einmal Deine Formel für den Konvergenzradius. Du hast einmal zuviel dividiert.

2) Das Argument ist Folgendes: $\begin{eqnarray*} \sum a_k x^{2k} \end{eqnarray*}$ konvergiert / divergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} \sum a_k z^k \end{eqnarray*}$ konvergiert / divergiert mit $\begin{eqnarray*} z=x^2 \end{eqnarray*}$ .

Die Reihe über z konvergiert / divergiert genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} |z|<r_z \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} |z|>r_z \end{eqnarray*}$ mit dem Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r_z \end{eqnarray*}$ für die z-Reihe.

Damit konvergiert / divergiert die Reihe in x genau, dann wenn $\begin{eqnarray*} |x^2|=|z|<r_z \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} |x^2|=|z|>r_z \end{eqnarray*}$ . Damit $\begin{eqnarray*} r_x=\sqrt{r_z} \end{eqnarray*}$ .

3) Die Anfangsterme eine Reihe spiele grundsätzlich keine Rolle bei Konvergenzfragen (wohl aber, wenn der Summenwert der Reihe gefragt ist). Es ist also für den Konvergenzradius egal, ob der Reihenindex mit 0,1,2 oder 3 oder 4 ... beginnt.

Gruß pwm

30.09.2018, 22:33

Kaimera

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Vielen lieben Dank! Zu 1), das war tatsaechlich nur ein Fehler beim Abschreiben, es sollte natuerlich $\begin{eqnarray*} <br /> a = \lim_{k \to \infty} |\frac{a_{k+1}}{a_k} | \end{eqnarray*}$ heissen. Ich bin schonmal beruhigt, dass ich nicht etwas voellig falsches gelernt habe. Ich weiss leider nicht, wie man das ohne vorgegebene Musterloesung ueberpruefen kann. Nachtrag: Habe gerade entdeckt, dass wolframalpha sowas kann :o

Hier die andere Haelfte der Aufgaben:

4) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\cdot x^{2k+1} \end{eqnarray*}$ was nach Skript $\begin{eqnarray*} sin(x) \end{eqnarray*}$ ist. Im Netz habe ich dazu einen Ansatz gefunden, welchen ich so interpretiert habe:
Setze $\begin{eqnarray*} y=2k+1 => k=\frac{y-1}{2} \end{eqnarray*}$ , daraus ergibt sich
$\begin{eqnarray*} \lim_{y \to \infty} |\frac{\frac{(-1)^{\frac{y-1}{2}+1}}{(2(\frac{y-1}{2}+1)+1)!}}{\frac{(-1)^{\frac{y-1}{2}}}{2(\frac{y-1}{2}+1)!}}| = ... = \lim_{y \to \infty} |\frac{(-1)}{(y+1)(y+2)}| = 0 \end{eqnarray*}$ . Dann duerfte $\begin{eqnarray*} r=+\infty \end{eqnarray*}$ sein. Ist die Substitution korrekt angewandt?

5) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \begin{pmatrix} 2k \\ k \end{pmatrix}\cdot k^{-k}\cdot x^{k} \end{eqnarray*}$
Habe ich dann ungeformt zu $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(2k)!}{k!(2k-k)!}\cdot k^{-k}\cdot x^{k}= \sum\limits_{k=0}^{\infty } \frac{(2k)!}{(k!)^2k}\cdot (x-0)^{k} \end{eqnarray*}$ . Bei der ersten Formel schmeisst wolframalpha mir das bereits entgegen, weil bei k=0 eine Defintionsluecke besteht. Das verstehe ich ja sowieso noch bis heute nicht, wann eine Umformung gueltig ist, und wann nicht. Wann der Definitionsbereich einzuschraenken ist, und wann nicht. Bei den Kriterien kommen ja immer wieder Ausdruecke unter den Bruch, die bei unguenstiger Wahl von k eine Division durch Null bedeuten wuerden.
Jedenfalls habe ich das dann mit dem Quotientenkriterium weitergerechnet.
$\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} |\frac{\frac{(2(k+1))!}{((k+1)!)^2(k+1)}}{\frac{(2k)!}{(k!)^2k}}|= ... = lim_{k \to \infty} |\frac{2k(2k+1)}{(k+1)^2}| = lim_{k \to \infty} |\frac{4k^2+2k}{k^2+2k+1}| \end{eqnarray*}$ was mit l'Hospital $\begin{eqnarray*} a=4 \end{eqnarray*}$ ergibt. An dieser Stelle habe ich zwei Interpretationsmoeglichkeiten:
5i) $\begin{eqnarray*} r = \frac{1}{4} \end{eqnarray*}$ , da allgemeine Divergenz (falls der Begriff existiert) fuer Konvergenzradien erst einmal unerheblich ist, und alles grundsaetzlich konvergieren kann, was keinen Radius von 0 hat. Frage: Was passiert bei r=0, muss man dann den Einzelfall betrachten, oder bedeutet dies direkt Divergenz?
5ii) Das Quotientenkriterium ergibt Divergenz, wodurch die Formel fuer den Konvergenzradius nicht anwendbar ist.

6) $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty } (1+\frac{(-1)^k}{k})^{k^2}\cdot x^{k} \end{eqnarray*}$ . Hier habe ich dann das Wurzelkriterium angewandt: $\begin{eqnarray*} a=\limsup_{k \to \infty} \sqrt[k]{|(1+\frac{(-1)^k}{k})^{k^2}|}= \limsup_{k \to \infty} |(1+\frac{(-1)^k}{k})^{k}| = e \end{eqnarray*}$
da $\begin{eqnarray*} \lim_{k \to \infty} |(1+\frac{(-1)^k}{k})^{k}| = \left\{\frac{1}{e},e\right\} \end{eqnarray*}$
Habe ich das mit dem limsup richtig verstanden?

Passt das so?

01.10.2018, 09:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kaimera
Nun kann das Quotientenkriterium fuer den Fall =1 keine Aussage treffen. Hier bin ich mir noch sicher, richtig gerechnet zu haben.

Das ist kein Zufall oder besonderes Pech, sondern gesetzmäßig so:

An den Randpunkten des Konvergenzintervalls (bzw. -kreises) liefert das Wurzelkriterium grundsätzlich Wert 1 und das Quotientenkriterium gar nichts (d.h. keine Konvergenz des Quotienten) oder eben auch Wert 1. Diese beiden Kriterien allein können also nie die Konvergenzfrage an den Konvergenzintervallrändern klären.

Ist aber auch für die Frage hier irrelevant: Wenn nur nach dem Konvergenzradius statt dem Konvergenzbereich gefragt wird, dann ist auch wirklich nur dieser Radiuswert zu bestimmen,
die Frage nach der Konvergenz an den Randpunkten kann offen bleiben.

Falls es dich dennoch hier bei 1) interessiert: Es ist

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^2-k+5} < \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{(k-1)^2} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} < \infty \end{eqnarray*}$

basierend auf der Konvergenz der Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k^{\alpha}} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} \alpha > 1 \end{eqnarray*}$ . Daher liegt hier (absolute) Konvergenz an den beiden Randpunkten $\begin{eqnarray*} x=4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ vor.

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