Beweis einer Mengengleichheit

30.09.2018, 16:18	jss12	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis einer Mengengleichheit Meine Frage: als Hausaufgabe soll ich folgende Mengengleichheit beweisen (u: Vereinigung, $: Schnittmenge): (A u B) $ (A u C) $ (B u C) = (A $ B) u (A $ C) u (B $ C) ich sitz da jetzt schon ewig dran und komme einfach nicht auf die Lösung. Ich würde mich riesig über jede Hilfestellung freuen. Meine Ideen: Also ich habe schon eine Skizze angefertigt ( die mir allerdings nicht weiter geholfen hat) Ich hab überlegt das über eine Wahrheitstabelle zu machen, aber das hatten wir in der Vorlesung noch nicht Edit (mY+): Hilfeersuchen aus dem Titel entfernt. Bitte davon abzusehen.
30.09.2018, 18:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Skizze hilft und zeigt, dass die beiden Mengen gleich sind, das ist aber kein Beweis. 2 Mengen $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} N \end{eqnarray}$ sind genau dann gleich, wenn sie Teilmengen von einander sind. Dazu muss man zeigen $\begin{eqnarray} x\in M\Rightarrow x\in N \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x\in N\Rightarrow x\in M \end{eqnarray}$ . So und nicht anders geht das immer in der Mengenlehre, und das muss auch hier so gehen.
30.09.2018, 18:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte auch mit den Gesetzen einer Booleschen Algebra argumentieren. Zunächst klammert man aus den vordern beiden Klammern $\begin{align} A \end{align}$ aus (mit $\begin{align} \cup \end{align}$ wie einer Multiplikation und $\begin{align} \cap \end{align}$ wie einer Addition): $\begin{align} (A \cup B) \cap (A \cup C) = A \cup (B \cap C) \end{align}$ Und jetzt "multipliziert man aus" (mit $\begin{align} \cap \end{align}$ wie einer Multiplikation und $\begin{align} \cup \end{align}$ wie einer Addition): $\begin{align} \left( A \cup \color{red} (B \cap C) \color{black} \right) \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \cup \underbrace{\left( \color{red} (B \cap C) \color{black} \cap (B \cup C) \right)}_{B \cap C} \end{align}$

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