Fehlerfortpflanzung eines Integrals

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Max117 Auf diesen Beitrag antworten »
Fehlerfortpflanzung eines Integrals
Hallo an alle die sich meiner Fragestellung widmen! smile

Innerhalb eines Forschungsprojektes möchte ich eine Fehlerabschätzung einer Berechnung durchführen, die durch ein Integral gebildet wird. Diese Berechnung baut auf zwei Messgrößen, die innerhalb einer Messkette aufgenommen werden.

Die beiden Messgrößen sind a und b und sind durch die Zeit indexiert. Beide haben eine Ungenauigkeit von und . Mit Hilfe der folgenden Gleichung berechne ich die Größe P (c ist eine Konstante):



Nun möchte ich berechnen, wie groß der maximale Fehler dieser Berechnung ist. Deshalb wende ich die Gaußsche Fehlerfortpflanzung (nur bis Polynomgrad 1) an mit

.

Hierbei komme ich auf:



So weit so gut. Jetzt nehme ich bspw. 1000 Messwerte in 2 Sekunden auf, setze allerdings für t 2s ein. Jetzt verdoppelt sich aber der Messfehler nur, obwohl ich aber 1000 mögliche maximale Messfehler haben könnte. Das kann doch nicht richtig sein, oder?

Klar ist ja, wenn ich die berechnete Fläche als neue Kenngröße annehme und somit einen Verlauf habe, dann greift ja jeder neu berechnete Wert (der Fläche) auf den vorherigen zurück. Somit müsste ja, wenn bei jedem Messpunkt die maximale Ungenauigkeit (mit demselben Vorzeichen) eintritt, das 1000-fache der Grundungenauigkeit entstehen.

Kann mir da jemand helfen?

Weiterhin suche ich einen Weg, wie ich die Häufigkeiten der Fehlerhöhen als Normalverteilung annehmen kann. Wenn man sich als Gedankenexperiment vorstellt, dass bei ausreichend großer Messwertaufnahme eine Normalverteilung um den wahren Wert vorliegt, so kann sich ja jede negative Abweichung wiederum mit der positiven Abweichung eliminieren.

Oder lässt sich durch die Integration die Fähigkeit des Messgerätes oder der Messkette nicht bescheinigen?

Vielen Dank schonmal für das Annehmen meines Problemssmile

Viele Grüße
Max117
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerfortpflanzung eines Integrals
Betrachten wir zunächst mal



Es werde zu den Zeiten in gleichen Zeitabständen gemessen mit den Messwerten und es sei



mit dem Messfehler . Berechnet man das Integral numerisch mit der Trapezregel, hat man für das gemessene Integral



mit



Dabei ist angenommen, dass der Fehler durch die numerische Integration vernachlässigbar ist. Wenn die Fehler unabhängig voneinander sind und der gleichen Verteilung genügen, kann bei genügend großem nach dem zentralen Grenzwertsatz angenommen werden, dass der Gesamtfehler in guter Näherung normalverteilt ist, selbst wenn die selbst nicht normalverteilt sind. Es sei die Standardabweichung der . Dann hat man



Analog kann bestimmt werden und daraus unter Berücksichtigung von die Standardabweichung des Gesamtfehlers.
 
 
Max117 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerfortpflanzung eines Integrals
Hallo Huggy,

vielen Dank für deine Antwort! Leider verstehe ich den letzten Teil nicht so ganz. Kann ich das Fehlerfortpflanzungsgesetz nicht anwenden?

Die Berechnung für erschließt sich mir irgendwie nicht ganz. Die Standardabweichung von müsste ich ja folglich auch wieder so berechnen, oder?

Viele Grüße!
Max117
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fehlerfortpflanzung eines Integrals
Zitat:
Original von Max117
Kann ich das Fehlerfortpflanzungsgesetz nicht anwenden?

Jedenfalls nicht so, wie du es gemacht hast. Was soll denn



überhaupt sein. ist doch keine Variable, sondern eine Funktion.

Zitat:
Die Standardabweichung von müsste ich ja folglich auch wieder so berechnen, oder?

Von nichts kommt nichts. Die Standardabweichung der musst du natürlich kennen oder irgendwie bestimmen. Meine Rechnung beruht lediglich auf den Grundregeln für die Varianz unabhängiger Zufallsgrößen:



Max117 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch der Messfehler. Wenn ich diesen nicht messen kann, da ich den wahren Wert nicht kenne und auch keine mehreren Messungen nach Gang für denselben Messwert durchführen kann, wie könnte ich die Standardabweichung dann berechnen / bestimmen?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Größe auf einen festen Wert einstellen kannst, kannst du doch durch Wiederholungsmessungen bei diesem festen Wert die Standardabweichung des Fehlers bestimmen. Dazu muss man den korrekten Wert von nicht kennen. Der wird durch den Mittelwert der Messungen ersetzt. Vorausgesetzt ist dabei, dass kein systematischer Fehler vorliegt.

Wenn du aber über den Messfehler von überhaupt nichts weißt, wird dir keinerlei Mathematik helfen, den Fehler von zu bestimmen.
Max117 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank! Das muss ich testen, ich hoffe das ich einen Wert vorgeben kann.
Max117 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

leider kann ich keinen festen Wert vorgeben und diesen messen. Jedoch habe ich ja eine theoretische Unsicherheitsbetrachtung der Messkette durchgeführt. Anhand derer habe ich eine absolute maximale Unsicherheit. Diese sollte doch eigentlich als ausreichen, oder nicht?

Bis dahin habe ich die Betrachtung ja schon fertig, jetzt möchte ich eigentlich nur wissen, wie groß der maximale Fehler ist, den ich durch die Integration erhalte. Das heißt: Wie pflanzt sich die Ungenauigkeit (die ich bestimmt habe), von beiden Größen, durch die Integration fort. Deshalb dachte ich auch das die Berechnung wie oben korrekt wäre.

Logisch gesehen, wenn man sich das Integrationsverfahren ansieht, muss aber doch gesagt werden, dass jeder berechnete Wert auf den vorherigen aufaddiert wird. Oder etwa nicht?

Kann mir da jemand weiterhelfen?

Viele Grüße
Max117
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Max117
Logisch gesehen, wenn man sich das Integrationsverfahren ansieht, muss aber doch gesagt werden, dass jeder berechnete Wert auf den vorherigen aufaddiert wird.

Ja, die Berechnung des Integrals besteht im wesentlichen aus Additionen der gemessenen Werte, siehe auch meine Anmerkung oben zur Berechnung mit der Trapezregel. Jetzt musst du entscheiden, ob dein Fehler ein statistischer Fehler ist oder ob er systematisch immer in dieselbe Richung gehen kann. im letzeren Fall addieren sich die Fehler multipliziert mit den Faktoren der gewählten Integrationsprozedur einfach auf. Im ersteren Fall gilt meine obige Betrachtung nach wie vor mit , wobei du allerdings den Faktor nicht kennst.
Max117 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank!
Dann würde ich sagen ist meine Frage erstmal beantwortet. Danke für die schnellen und guten Ratschläge!

Viele Grüße
Max117
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