Quadrat einer Verteilungsfunktion im engeren Sinn

02.10.2018, 21:52	Daniel8	Auf diesen Beitrag antworten »
Quadrat einer Verteilungsfunktion im engeren Sinn Ein altes Prüfungsbeispiel, an dem ich gerade hänge: F sei eine Verteilungsfunktion im engeren Sinn. Zeigen Sie, dass durch $\begin{eqnarray} G(x)=F(x)^2 \end{eqnarray}$ eine Verteilungsfunktion mit $\begin{eqnarray} \mu_G << \mu_F \end{eqnarray}$ gegeben ist, und bestimmen Sie $\begin{eqnarray} \frac{d \mu_G}{d \mu_F} \end{eqnarray}$
03.10.2018, 19:50	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Einfach mal darüber nachdenken, was für Intervalle $\begin{eqnarray} (a,b] \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a<b \end{eqnarray}$ da passiert: $\begin{eqnarray} \mu_G((a,b]) = G(b)-G(a) = (F(b)+F(a))(F(b)-F(a)) = (F(b)+F(a))\cdot \mu_F((a,b]) \end{eqnarray}$ . Für festes $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} a\nearrow b \end{eqnarray}$ bedeutet dies $\begin{eqnarray} \mu_G(\{b\}) = (F(b)+F(b-0))\cdot \mu_F(\{b\}) \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ eine Sprungstelle von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ , dann folgt daraus zwingend $\begin{eqnarray} \frac{\dd\mu_G}{\dd\mu_F}(b) = F(b)+F(b-0)\qquad () \end{eqnarray}$ , dabei kennzeichnet wie üblich $\begin{eqnarray} F(b-0) \end{eqnarray}$ den linksseitigen* Grenzwert der Funktion $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ an der Stelle b. Man kann sich überdies überlegen, dass () auch für Stetigkeitsstellen $\begin{eqnarray} b \end{eqnarray}$ von $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine passende Wahl ist (dort gilt vereinfacht dargestellt dann offenbar $\begin{eqnarray} \frac{\dd\mu_G}{\dd\mu_F}(b) = 2F(b) \end{eqnarray*}$ ).

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