Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen |
03.10.2018, 18:52 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen 1) Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz: Hier bin ich mir nicht sicher, wie ich dieses Beispiel angehen soll. Zuerst prüfe ich auf punktweise Konvergenz. Dafür bilde ich . Dann bekomme ich folgendens: Okay ich habe jetzt eine Nacht darüber geschlafen und bin zu folgender Erkenntnis gekommen: Die Grenzfunktion lautet und damit konvergiert meine Funktionenfolge punktweise. Dann: für Damit ist meine Funktionenfolge auch gleichmäßig konvergent - ist das so korrekt? und 2) Untersuchen Sie auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz: a) Hier dachte ich zuerst, ich müsste eine Fallunterscheidung machen, aber wenn man es genau betrachtet, ist die Grenzfunktion immer 0 oder? Denn falls ist, dann ist die Funktionenfolge 0 und falls bzw. dann wird der zweite Faktor 0 und die Funktionenfolge strebt somit auch wieder gegen 0. Stimmt diese Überlegung? Wenn ja, dann habe ich die gleichmäßige Konvergenz so gezeigt: für Stimmt das so? b) Sprich es hat sich "nur" das Intervall geändert. Die Funktionenfolge ist die selbe geblieben. Meiner Meinung nach, bleibt die Grenzfunktion die selbe, also 0. Es würde ja nur die Betrachtung für wegfallen oder? Und hier ist es aber nun so, dass ich für die gleichmäßige Konvergenz auf diese Form komme: für Diesesmal ist der Grenzwert 0, weil ich sich mein x auf einem offenen Intervall bewegt und somit nie den Wert 1 wirklich annimmt. Ist diese Überlegung korrekt? Ich freue mich wirklich über jede Hilfe und jeden Hinweis von euch! Lg |
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04.10.2018, 08:46 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
Zunächst einmal eine kleine Latex-Verbesserung. Gemeint ist da Außerdem solltest du wissen, daß ist.
Nein. Damit hast du wiederum nur die punktweise Konvergenz gezeigt. Du mußt zeigen, daß es für alle epsilon > 0 ein N_0 gibt, so daß ist für alle n > N_0 und für alle x aus R.
Eine Fallunterscheidung x gleich Null und x ungleich Null ist unnötig. Außerdem mußt du für die punktweise Konvergenz das n gegen unendlich laufen lassen. |
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04.10.2018, 10:49 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
Nur das n gegen unendlich laufen lassen, führt zur punktweisen Konvergenz. Für die gleichmäßige Konvergenz muß auch die entsprechende Definition nachgewiesen werden. In deinen Überlegungen sehe dazu quasi gar nichts.
Nun ja, es wäre gut, wenn du trotzdem etwas feiner argumentierst: Was passiert an den Intervallgrenzen? Was passiert für -1 < x < 1 ? |
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04.10.2018, 12:07 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen Sorry, ich habe durch Editieren deinen Beitrag zerstört. Statt auf "Zitat" habe ich auf "Edit" geklickt. So ein Mist. Ich hoffe, du kannst mir verzeihen, und du siehst, was ich sagen wollte. |
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04.10.2018, 14:16 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
Aber das Majoranten-Kriterium besagt doch, dass wenn wo für , dann gilt, dass die Funktionenfolge gleichmäßig gegen f konvergiert.
Wenn ich das Intervall für x ohne -1 und 1 betrachte, dann laufe ich für sowieso immer gegen 0. Ansonsten könnte ich noch unterscheiden für x=-1 bzw. 1 und (also eben die Intervallgrenzen). Aber ich dachte, das wäre nicht notwendig... Und kein Problem Ich kenne mich noch sehr gut aus |
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04.10.2018, 14:47 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
OK, dann müßtest du für solch eine Folge a_n angeben.
Die Funktionenfolge f_n ist auf dem abgeschlossenen Intervall [-1; 1] definiert. Also mußt du auch die Ränder untersuchen. |
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04.10.2018, 15:15 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
Ach jetzt habe ich glaube ich meinen Denkfehler! Das heißt wenn ich die gleichmäßige Konvergenz nun folgendermaßen zeige: für Stimmt das dann? Dann hätte ich doch mit 1/n eine Nullfolge gefunden oder?
Dann schaue ich mir die Grenzen für -1 und 1 an. Aber dann sind wir wieder bei der Aussage, dass ja dann und damit konvergiere ich punktweise wieder gegen 0. Weshalb meine ganze Funktionenfolge punktweise gegen 0 konvergiert? |
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04.10.2018, 15:39 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
Ja, jetzt wird ein Schuh draus.
Korrekt. |
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04.10.2018, 17:32 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen
Jaaa endlich!
Okay damit habe ich dann die punktweise Konvergenz gezeigt. Wie zeige ich aber nun die gleichmäßige? Ich habe versucht eine Nullfolge zu finden, aber ich finde einfach keine... Dann habe ich es mit dem Supremum-Kriterium versucht, aber da komme ich auch auf nichts. Also entweder stehe ich auf der Leitung oder diese Funktionenfolge ist nicht gleichmäßig konvergent. Wie gehe ich das am besten an? |
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05.10.2018, 08:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
RE: Punktweise und gleichmäßige Konvergenz prüfen Wir können uns ja mal den Term etwas genauer ansehen. An den Stellen x=0 und x=1 wird der Term zu Null. Aber wie sieht es dazwischen aus? Beispielsweise dort, wo ist? |
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05.10.2018, 11:52 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Dann würde rauskommen. Was sagt mir das? Wenn ich betrachte, dann bin ich ja auch nicht mehr von abhängig oder nicht? |
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05.10.2018, 13:42 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Ich habe nun folgendes gemacht: Ich habe nun das Supremum-Kriterium angewandt und bekomme für . Weiter komme ich dann auf ein Maximum für das Intervall [0,1], wenn ich mir nun aber das Intervall -1,0) betrachte, komme ich auf kein Maximum, da ich unter der Wurzel negativ bin. Was heißt das nun aber für meine Funktionenfolge? Mir fehlt es hier glaube ich sehr an Verständnis. Ich weiß nicht, wie ich das interpretieren soll... |
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05.10.2018, 17:24 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Habe das Beispiel nun gelöst: Ich bin punktweise konvergent, kann aber mit dem Supremum-Kriterium zeigen, dass ich nicht gleichmäßig konvergent bin, da mein Supremum für nicht gegen 0 sondern eben gegen strebt. Und da ich beim Supremum immer den Betrag meiner Funktionenfolge betrachte, bin ich symmetrisch, womit ich dieses Maximum sowohl für das Intervall [-1,0) und [0,1] übernehmen kann. |
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06.10.2018, 10:10 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Mit dem Supremum mußt du nochmal genauer arbeiten. Es geht ja um die Supremumsnorm, also um das Supremum von . Das ist logischerweise nicht negativ.
Das sollte dir sagen, daß das Supremum von wenigstens 3/8 beträgt. In der Tat ist somit die Funktionenfolge nicht gleichmäßig konvergent. |
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06.10.2018, 13:08 | LuciaSera | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wieso wenigstens 3/8 Was ich auch nicht nachvollziehen kann ist, warum ich einen Wert für x^n einsetze anstatt für x. |
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07.10.2018, 12:34 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||
Wenn du in x^n = 1/2 einsetzt, kommt nun mal 3/8 raus. Also muss das Supremum 3/8 oder größer sein. Und ob du x^n = 1/2 oder nimmst, ist so ziemlich Jacke wie Hose. |
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