Fläche zwischen Kreis und Parabel

04.10.2018, 23:45

Dopap

Fläche zwischen Kreis und Parabel

Ein Kreis mit Radius 1 berührt die Normalparabel $\begin{eqnarray*} y_N:=x^2 \end{eqnarray*}$ in 2 Punkten. Welche Fläche umschließen die Graphen?

habe der Kreis $\begin{eqnarray*} M(0,b) \end{eqnarray*}$ und ein Tangentenpunkt sei $\begin{eqnarray*} T(x_t,x_t^2) \quad x_t\geq0 \end{eqnarray*}$ dann hätte ich $\begin{eqnarray*} (b-x_t^2)^2+x_t^2 =1 ~ \land~ \frac{b-x_t^2}{x_t}=-\frac {1}{2x_t} \end{eqnarray*}$ gelöst.

Für gesuchte Fläche gibt es viele additive und subtraktive Teilflächen wie Sektor, Dreieck, Rechteck etc.

Deshalb: gibt es mit dem Integral $\begin{eqnarray*} A=2\int_0^{x_t}~ y_{K}(x) - y_N(x)\, \dd x \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y_{K} \end{eqnarray*}$ als untere Kreishälfte ein Problem?

05.10.2018, 00:10

riwe

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RE: Fläche zwischen Kreis und Parabel
verwirrt

05.10.2018, 00:46

klauss

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RE: Fläche zwischen Kreis und Parabel
Danke für das Bild, riwe. So hatte ich mir das auch vorgestellt.
In der Funktionsvorschrift für die untere Kreishälfte
$\begin{eqnarray*} y=b-\sqrt{1-x^{2} } \end{eqnarray*}$
ist es nicht allzu schwer, b und damit die Berührpunkte zu bestimmen.
Wenn es um die Fläche geht, um die es der Formulierung nach gehen müßte, sehe ich bei dem Integral dann eigentlich auch kein übermäßiges Problem.

05.10.2018, 06:25

Leopold

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Ich habe mit dem Kreis $\begin{align*} x^2 + y^2 = 1 \end{align*}$ und der Parabel $\begin{align*} y = x^2 + a \end{align*}$ gearbeitet. Das Einsetzen von $\begin{align*} y \end{align*}$ in die Kreisgleichung führt auf eine quadratische Gleichung in $\begin{align*} x^2 \end{align*}$ mit der Diskriminanten $\begin{align*} D = 4a+5 \end{align*}$ . Mit $\begin{align*} a = - \frac{5}{4} \end{align*}$ erhält man die Berührstellen $\begin{align*} x = \pm \frac{1}{2} \sqrt{3} \end{align*}$ und damit den Flächeninhalt

$\begin{align*} F = \frac{1}{12} \left( 9 \sqrt{3} - 4 \pi \right) \end{align*}$

05.10.2018, 07:15

Dopap

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@riwe: das bilderl ist sehr schön, es gibt auch nur diese Lösung. Augenzwinkern

@Leopold: fein, der alte Trick mit doppelter Nullstelle Gott

@klauss: ja, $\begin{eqnarray*} \int_0^{\pi/3} ...\cos(\varphi)... \dd\varphi \end{eqnarray*}$ (*) ist machbar smile

Dank an den versammelten Sachverstand

---------------
(*) nach Subst: $\begin{eqnarray*} x=\sin(\varphi) \end{eqnarray*}$

05.10.2018, 20:55

klauss

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Ist eine nette Aufgabe, in der einiges drinsteckt, wenn man sie bis zum Schluß zu Fuß lösen will: Geometrisches Vorstellungsvermögen, quadratische und biquadratische Gleichung, Diskriminante, Substitution, partielle Integration, trigonometrischer Pythagoras ...
Werd ich mir daher auch privat archivieren.
Ich fürchte, der durchschnittliche Abiturient wäre damit heutzutage überfordert.

Kleiner Nachtrag:
Interessant hier auch, dass die Berührpunkte gerade bei $\begin{align*} x=\pm \frac{\sqrt{3} }{2} \end{align*}$ liegen, weshalb man das Flächenintegral letztlich sogar ohne Taschenrechner ausrechnen kann.

05.10.2018, 22:15

Leopold

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Zitat:

Original von klauss
Ich fürchte, der durchschnittliche Abiturient wäre damit heutzutage überfordert.

Ich glaube, den Konjunktiv kannst du streichen. Allerdings würde ich die Schuld nicht dem "durchschnittlichen" Abiturienten zuschieben, sondern einer verheerenden Bildungspolitik, die die Schulmathematik in den letzten zwanzig Jahren ruiniert hat. Darf ich den amerikanischen Präsidenten zitieren: It's a disaster!

05.10.2018, 23:47

klauss

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Zitat:

Original von Leopold
Darf ich den amerikanischen Präsidenten zitieren

Warum denn nicht ...?

Eine Schuldzuweisung an Schüler wollte ich gar nicht vornehmen. Aus jahrelanger Erfahrung ist mir natürlich klar, dass insbesondere das früher vielgepriesene Bayerische Abitur jedenfalls in Mathe durch G12 auf maximal früheres Grundkursniveau degradiert wurde.

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