Sichere Konvergenz einer Zufallsvariablen

05.10.2018, 13:51

boerns

Sichere Konvergenz einer Zufallsvariablen

Hallo zusammen,

ich lerne zurzeit für meine W-Theorie-Klausur und bin im Zuge dessen auf eine Aufgabe gestoßen, aus der ich nicht richtig schlau werde.

$\begin{eqnarray*} Se i\; (\mathbb{R}, \mathcal{B}, P) \; ein \; Wahrscheinlichkeitsraum, \; wobei \; P \; die \; Gleichverteilung \; auf \; [-1;1] \; ist. \; \\ Untersuche \; die \; Folge \; (X_n)_{n \in \mathbb{N}} \; der \; Zufallsvariablen \; X_n \; = \frac{1}{n} \mathbb{1}_{[-1;0[}-(-\mathbb{1}_{[0;1]})^n \; n\in\mathbb{N}, \; auf \; fast \; sichere \; Konvergenz \end{eqnarray*}$

Die Folge geht ja für $\begin{eqnarray*} \omega \in [-1,0[ \end{eqnarray*}$ gegen 0 und für $\begin{eqnarray*} \omega \in [0,1] \end{eqnarray*}$ für gerade n gegen 1 und für ungerade n gegen -1.

Mir fehlt aber der Ansatz für die fast sichere Konvergenz. Hat jemand vielleicht einen Ansatz für mich?

Vielen Dank schonmal

Julian

05.10.2018, 14:26

HAL 9000

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Zitat:

Original von boerns
und für $\begin{eqnarray*} \omega \in [0,1] \end{eqnarray*}$ für gerade n gegen 1 und für ungerade n gegen -1.

Mit anderen Worten: Für diese $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ konvergiert die Folge NICHT. Folglich gilt für

$\begin{eqnarray*} A = \left\{ \omega\in\Omega \mid X_n(\omega)\;\mbox{konvergiert} \right\} \end{eqnarray*}$

schlicht und einfach $\begin{eqnarray*} A=[-1,0[ \end{eqnarray*}$ und folglich $\begin{eqnarray*} P(A) = \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Fast sichere Konvergenz erfordert aber $\begin{eqnarray*} P(A)=1 \end{eqnarray*}$ .

05.10.2018, 14:30

boerns

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Danke für die schnelle Antwort!
Manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht! Danke dir!

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