Bestimmung Verteilungsfunktion / Faltung

05.10.2018, 18:57	boerns	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmung Verteilungsfunktion / Faltung Hallo zusammen, ich habe eine Frage bzgl. der Bestimmung der Verteilungsfunktion in folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} (a)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq[0;1] \end{eqnarray}$ eine gegen $\begin{eqnarray} a\in[0;1] \end{eqnarray}$ konvergente Folge und bezeichne für $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ eine Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray} X_n~(a_n\delta_n+(1-a_n)\lambda_{[0;1]} \end{eqnarray}$ . Bestimmen sie die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ Heißt das dann, dass die Verteilung von $\begin{eqnarray} X_n \end{eqnarray}$ aus der Faltung der Verteilungen von $\begin{eqnarray} a_n\delta_n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (1-a_n)\lambda_{[0;1]} \end{eqnarray}$ entsteht? Ich hoffe die Frage ist nicht zu dämlich... Danke schonmal!
05.10.2018, 19:12	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Könntest du deinen Text noch einmal überprüfen? Wenn es zum Beispiel heißt: "eine Zufallsvariable mit ...", dann erwartet man nach dem "mit" eine Aussage über die Zufallsvariable. Bei dir steht da aber nur Unverständliches. Was ist mit $\begin{align} \delta_n \end{align}$ gemeint? Bei $\begin{align} \lambda_{[0,1]} \end{align}$ habe ich die Vermutung, daß damit die Gleichverteilung gemeint ist. Erkläre bitte deine vorlesungsabhängigen Bezeichner. Aber vielleicht findet sich hier auch ein Helfer, der besser mit den Notationen der Wahrscheinlichkeitsrechnung vertraut ist und sich auf alles einen Reim machen kann.
05.10.2018, 19:52	boerns	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Bestimmung Verteilungsfunktion / Faltung Entschuldigung. Das sollte folgendermaßen heißen: (...) eine Zufallsvariable mit $\begin{eqnarray} X_n \sim (a_n\delta_n+(1-a_n)\lambda_{[0;1]}) \end{eqnarray}$ (...) Mit $\begin{eqnarray} \delta_n \end{eqnarray}$ ist das Dirac-Maß gemeint, also $\begin{eqnarray} \delta_z(A)=\begin{cases} 1, \; falls \; z\in A \\ 0, \; sonst \end{cases} \end{eqnarray}$ Mit $\begin{eqnarray} \lambda_{[0;1]} \end{eqnarray}$ ist das Lebesgue-Maß gemeint.
05.10.2018, 20:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist nicht die Faltung, sondern $\begin{eqnarray} X_n \sim (a_n\delta_n+(1-a_n)\lambda_{[0;1]}) \end{eqnarray}$ bedeutet $\begin{eqnarray} P(X_n\in B) = a_n\delta_n(B) + (1-a_n)\lambda_{[0,1]}(B)\qquad () \end{eqnarray}$ für alle Borelmengen $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ . Speziell auch für die Borelmengen $\begin{eqnarray} B=(-\infty,x] \end{eqnarray}$ , die liefern dann direkt die Verteilungsfunktion, denn es ist $\begin{eqnarray} F_{X_n}(x) = P(X_n\leq x) = P(X_n\in (-\infty,x]) \stackrel{()}{=} a_n\delta_n((-\infty,x]) + (1-a_n)\lambda_{[0,1]}((-\infty,x]) = a_n\delta_n((-\infty,x]) + (1-a_n)\lambda([0,1]\cap (-\infty,x]) \end{eqnarray}$ . Für eine weitere Vereinfachung wird man eine Fallunterscheidung bzgl. $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ vornehmen müssen. P.S.: Du hast nichts über $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gesagt, aber ich gehe mal von $\begin{eqnarray} n\geq 1 \end{eqnarray}$ aus. Falls auch $\begin{eqnarray} n=0 \end{eqnarray}$ möglich ist, wäre das leider ein weiterer Fall, der extra zu betrachten ist.
05.10.2018, 21:24	boerns	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit $\begin{eqnarray} n\in\mathbb{N} \end{eqnarray}$ sind die natürlichen Zahlen ohne die Null gemeint. Ich komme dann auf folgende Verteilungsfunktion: $\begin{eqnarray} F_{X_{n}}(x)=\begin{cases} 0, \quad \quad \quad \quad \quad \forall \; x\in ]-\infty;x] <br /> \\ (1-a_n)x, \quad \quad \forall x \in ]0;x] \; mit \; x < n <br /> \\ a_n(1-a_n)x,\quad \forall x \in ]0;x] \; mit \; x \geq n \end{cases} \end{eqnarray}$ Habe ich das richtig verstanden?
06.10.2018, 06:53	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} x\in ]-\infty,x] \end{eqnarray}$ ist stets erfüllt - irgendwas ist da wohl durcheinandergeraten... Die richtige Verteilungsfunktion ist $\begin{eqnarray} F_n(x) = \begin{cases} 0 &\;\mbox{für}\; x<0\\ (1-a_n)x &\;\mbox{für}\; 0\leq x<1\\ 1-a_n &\;\mbox{für}\; 1\leq x<n\\ 1 &\;\mbox{für}\; x\geq n\end{cases} \end{eqnarray}$ (im Fall n=1 ist der dritte Fall irrelevant, weil keine $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ den erfüllen). Mach dir das klar, indem du die da aufgelisteten verschiedenen Fälle für $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ hinsichtlich $\begin{eqnarray} F_{X_n}(x) = a_n\delta_n((-\infty,x]) + (1-a_n)\lambda([0,1]\cap (-\infty,x]) \end{eqnarray}$ durchdenkst.
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