Längentreu folgt flächentreu?

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manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »
Längentreu folgt flächentreu?
Hi Leute,

ich frage mich wie ich beweisen kann, dass längentreue Abbildungen auch flächentreu sind?
Konkret geht es mir um Kongruenztransformationen.

Hat jemand einen Denkanstoß, bzw. ist das trivial?

Danke und LG
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Jedes Quadrat in der Fläche bleibt bei einer längentreuen Abbildung ein Quadrat mit derselben Kantenlänge und Diagonalenlänge, also ein zum Urbild kongruentes Quadrat. Wenn man nun eine beliebige Fläche mit kantenparallelen Quadraten vollständig überdeckt, die sich nicht überschneiden, dann muss auch wieder die gleiche Fläche bei der Abbildung herauskommen. Die Preisfrage ist nur, ob das mit Quadraten für jede beliebige Fläche möglich ist. Ich glaube, das geht so, was glaubst du ?
manuel459 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube es dir.

Danke smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn man eine Fläche mit endlich vielen Quadraten wie beschrieben überdecken kann, bin ich ganz sicher, dass die Argumentation stimmt. Wenn das nicht geht, wie z.B. bei einem Kreis, werden die (unendlich vielen) Quadrate, mit denen man die Fläche überdecken kann, immer kleiner. Der Grenzwert der Quadratflächensumme ist dann vermutlich auch gleich der überdeckten Fläche, und jede längentreue Abbildung ist flächentreu. Leise Zweifel bleiben, weil ich nicht ganz sicher bin, was eigentlich eine "Fläche" ist. Genauer müsste man fragen: Ist jede Fläche "messbar" ? (Schwieriges Thema "Maß- und Integrationstheorie".)
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das stimmt auf jeden Fall, weil längenträue Abbildungen automatisch
affine Abbildungen sind, deren linearer Anteil eine lineare Isometrie ist.

Solche Abbildungen erhalten wegen des Transformationssatzes (der hier eine Kanone für einen Spatzen ist, den Spezialfall für lineare Abbildungen ist eigentlich eine Vorstufe davon) das Lebesguemaß einer Menge, das gilt also nicht nur für Flächen im R^2, sondern für beliebige messbare Mengen im R^n.

Allerdings ist das alles natürlich keine Schulmathematik, ich wollte damit nur Elvis letzte Zweifel aus dem Weg räumen.
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