Linie "winkelgerecht" verkürzen

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08.10.2018, 12:11	GigiGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Linie "winkelgerecht" verkürzen Meine Frage: Hallo ich habe ein ganz praktisches Problem, dass ich lösen muss: Ich zeichne mit eine Linie durch zwei Punkte P1(x/y) und P2(x/y). P2 liegt im Mittelpunkt eines Quadrats mit bekannter Seitenlänge. Jetzt möchte ich P2 so verschieben, dass er am Rand des Quadrats liegt. Wie bekomme ich P2' heraus? Meine Ideen: Aufstellen eines Ortsvektors und "verkürzen" um Betrag X (wobei ich nicht weiß, wie lang Betrag x ist)? Winkelfunktionen einsetzen?
08.10.2018, 13:37	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe vermutlich die Frage noch nicht richtig: P2' bekomme ich doch ganz einfach, indem ich eine Komponente (x oder y) um die Hälfte der Seitenlänge verringere oder vergrößere. Und wozu braucht man P1?
08.10.2018, 20:55	GigiGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube, so einfach ist das nicht. ~~Das würde nur funktionieren~~. Ich habe mal eine Skizze angehängt Wie komme ich also an die Koordinaten P2' für jeden beliebigen Fall? Addieren/subtrahieren würde nur gehen, wenn ich genau durch eine Ecke des ~~Dreiecks~~ Quadrates komme (und dann müsste ich wissen, welche Ecke es ist und dementsprechend addieren/subtrahieren oder auch nichts tun). Viele Grüße Edit (mY+): Text wunschgemäß modifiziert.
08.10.2018, 21:34	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Liegt P2' immer genau in der Mitte zwischen P1 und P2?
08.10.2018, 21:38	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
Guten Abend, wenn man bei deiner Skizze die beiden Quadrate über einander schiebt, sieht es für mich wie eine Achsenspiegelung an der Quadratdiagonalen aus, die von links unten nach rechts oben verläuft. Aber vielleicht täuscht der Augenschein ...
09.10.2018, 06:36	GigiGo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Der Punkt in dem Quadrat ist immer im Mittelpunkt. Die Seitenlänge des Quadrats ist bekannt. Die zwei Skizzen sind lediglich Beispiele. Die Gerade könnte auch durch jeden anderen beliebigen Punkt laufen Viele Grüße
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09.10.2018, 07:44	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmal: Liegt P2' immer genau in der Mitte zwischen P1 und P2?
09.10.2018, 07:54	Gigigo	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein, davon ist nicht auszugehen. Anbei noch ein paar weitere Skizzen Ich fasse noch mal zusammen: Gegeben sind: Der Mittelpunkt eines Quadrats P2(x2\|y2) Ein weiterer Punkt außerhalb des Quadrats P1(x1\|y1) Die Seitenlänge des Quadrats a Gesucht wird: Der Schnittpunkt zwischen der Geraden P1->P2 und den Seiten des Quadrats. Viele Grüße
09.10.2018, 08:49	Gigigo	Auf diesen Beitrag antworten »
Angenommen, die Gerade P2P1 verläuft durch die untere Seite des Quadrats, dann könnte man ja versuchen, den Winkel zwischen P2P1 und einer Hilfgeraden zwischen P2 und der Seite des Quadrats (mit der Länge a/2) ausrechnen (siehe Skizze): $\begin{eqnarray} <br /> P3 = \left(x_{2}; y_{2} + \frac{a}{2} \right)<br /> <br /> \vec{P2P1} = \begin{pmatrix} x_{1} - x_{2} \\ y_{1} - y_{2} \end{pmatrix} <br /> <br /> \vec{P2P3} = \begin{pmatrix} x_{2} - x_{2} \\ y_{2}+ \frac{a}{2} - y_{2} \end{pmatrix} = \vec{P2P3} = \begin{pmatrix} x_{2} - x_{2} \\ y_{2}+ \frac{a}{2} - y_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ \frac{a}{2} \end{pmatrix} <br /> \end{eqnarray}$ Das Skalarprodukt von P2P1 und P2P3 ist dann: $\begin{eqnarray} <br /> \vec{P2P1} \cdot \vec{P2P3} = (x_{1} - x_{2}) 0 + (y_{1} - y_{2}) * \frac{a}{2} <br /> \end{eqnarray}$ Die Beträge ergeben: $\begin{eqnarray} <br /> \|\vec{P2P1}\| =\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2} } <br /> <br /> \|\vec{P2P3}\| =\sqrt{0^{2} + (\frac{a}{2} )^{2} } = \frac{a}{2} <br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich das in die Cosinus-Funktion eintrage, ergibt sich: $\begin{eqnarray} <br /> \gamma = cos^{-1}\left(\frac{(y_{1}-y_{2})\frac{a}{2} }{(\sqrt{(x_{1}-x_{2})^{2} + (y_{1}-y_{2})^{2} } ) \frac{a}{2} } \right) <br /> \end{eqnarray*}$ Und nun? Sieht mir eher wie mit Kanonen auf Spatzen geschossen aus
09.10.2018, 09:13	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie wäre es mit dem 2. Strahlensatz?
09.10.2018, 09:27	Gigigo	Auf diesen Beitrag antworten »
Dafür fehlt mir die Länge der zweiten Gerade (also die Verlängerung von P2P3).
09.10.2018, 09:29	willyengland	Auf diesen Beitrag antworten »
Die wäre (nach deinem letzten Bild) y2-y1.
09.10.2018, 09:41	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
ich würde das rein analytisch machen. 1.) was heißt rechnerisch $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ liegt nicht im Quadrat? 2.) Halbgerade von $\begin{eqnarray} P_2 \end{eqnarray}$ Richtung $\begin{eqnarray} P_1 \end{eqnarray}$ aufstellen 3.) mit den 4 Seitengeraden schneiden 4.) welcher der max 2 möglichen Schnittpunkte ist innerer Teilpunkt einer der 4 Seiten.? hört sich langatmig an, ist aber ohne jegliche visuelle Hilfsmittel programmierbar.
09.10.2018, 09:52	Gigigo	Auf diesen Beitrag antworten »
Schade, ich dachte, es gibt einen einfacheren Weg, da ich dies in ein JavaScript-Programm für eine relativ große Zahl von Fällen berechnen muss
09.10.2018, 09:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
So aufwändig ist das nun auch wieder nicht: Vier Divisionen, ein paar mehr Multiplikationen und ein paar Vergleiche.
09.10.2018, 16:06	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
etwas zurückgerudert: Welcher der möglichen Schnittpunkte der Halbgeraden ist innerer Teilpunkt von $\begin{eqnarray} \overline{ P_2P_1} \end{eqnarray}$ ?
10.10.2018, 05:32	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
im allgemeinen Fall, mit 6 Punkten in einer Ebene und einem konvexen Viereck ohne direkten Mittelpunkt, funktioniert das natürlich ebenfalls.
10.10.2018, 09:24	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir noch etwas mehr verallgemeinern: Ein Punkt innerhalb und ein Punkt außerhalb eines konvexen Vielecks, dann trifft für die Verbindungsstrecke der beiden Punkte folgendes zu: a) Sie schneidet genau eine der Vieleckseiten, oder b) sie verläuft durch genau einen der Eckpunkte des Vielecks. Wenn wir die Seiten inklusive ihrer Randpunkte (= Eckpunkte des Vielecks) verstehen, dann könnte man b) auch als "schneidet genau zwei benachbarte Vieleckseiten" formulieren. D.h., in einem Berechnungsalgorithmus muss man Fall b) daher nicht extra behandeln.

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