Doppelsumme vereinfachen

08.10.2018, 13:54

Lukas3558

Doppelsumme vereinfachen

Meine Frage:
Liebes Matheboard!

Wir beschäftigen uns in Analysis I gerade mit Doppelsummen. Bei folgender Aufgabe bin ich mir nicht ganz sicher, ob mein Lösungsweg der Richtige ist:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \sum\limits_{j=k}^{n} 3^{k-j} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Gut, zuerst würde ich die Summen vertauschen, um sie auseinanderziehen zu können:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} \sum\limits_{k=0}^{j} 3^{k}*3^{-j} \end{eqnarray*}$

Das könnte ich schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^{j} \sum\limits_{k=0}^{j} 3^{k} \end{eqnarray*}$

Dann würde ich die geometrische Summenformel verwenden, um die Summenzeichen loszuwerden:

Summe 1:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^{j} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Summe 2:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{j} 3^k = \frac{1-3^{j+1}}{-2} \end{eqnarray*}$

Und zum Schluss würde ich die beiden Brüche einfach zusammennehmen:

$\begin{eqnarray*} \frac{3-1+3^{j+1}}{2} \end{eqnarray*}$

Könnte das so stimmen?

Wenn nicht, dann bitte ich um Hilfe.

Vielen Dank,

Lukas

08.10.2018, 14:25

HAL 9000

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RE: Doppelsumme vereinfachen

Zitat:

Original von Lukas3558
Summe 1:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^{j} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$

Das stimmt nicht: Hier verwechselst du (endliche) Summe mit Reihe. Richtig sind

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{{\color{red}\infty}} \left(\frac{1}{3}\right)^j = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ , aber

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j = \frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3}{2}\left( 1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1} \right) \end{eqnarray*}$ .

Außerdem machst du grundsätzlich noch einen anderen Fehler:

Da die innere Summe vom Index der äußeren Summe abhängt (ganz gleich, ob die Originaldoppelsumme oder auch deine Doppelsumme nach der Indexvertauschung), kann man das ganze nicht einfach als Produkt zweier Summen ansehen. D.h., man kann das NICHT als

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j \sum_{k=0}^j 3^k \stackrel{?}{=} \left( \sum_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j\right)\cdot \left( \sum_{k=0}^j 3^k \right) \end{eqnarray*}$

lesen, das ist grundverkehrt. unglücklich

Es ist also lediglich $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j \sum_{k=0}^j 3^k = \sum_{j=0}^n \left( \left(\frac{1}{3}\right)^j\cdot \sum_{k=0}^j 3^k \right) \end{eqnarray*}$ , alles weitere müssen zunächst "innere" Vereinfachungen bringen.

Das Endresultat darf nur noch von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ abhängen - sicher nicht von einer Indexvariable wie $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ , die außerhalb der Doppelsumme ja gar keine inhaltliche Bedeutung hat. unglücklich

08.10.2018, 17:37

Lukas3558

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RE: Doppelsumme vereinfachen
Lieber Hal 9000!

Vielen herzlichen Dank für deinen ausführlichen Beitrag und deine Korrekturen. Das hat mir sehr geholfen. Ich hätte mir tatsächlich mehr Zeit zum Nachdenken nehmen sollen, da deine Anmerkung bzgl. der Abhängigkeit der Variablen komplett einleuchtend ist Hammer

Wenn ich also ausgehend von:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^j \sum\limits_{k=0}^{j}3^k = \sum\limits_{j=0}^{n}((\frac{1}{3})^j*\sum\limits_{k=0}^{j} 3^k) \end{eqnarray*}$ =

weitermache, hätte ich:

$\begin{eqnarray*} ((-\frac{3}{2})*(\frac{1}{3})^{n+1}+(\frac{3}{2}))*((\frac{3}{2})^{n+1}-(\frac{1}{2})) \end{eqnarray*}$ =

= $\begin{eqnarray*} ((-\frac{1}{2})^{n+1}+(\frac{3}{2}))*((\frac{3}{2})^{n+1}-(\frac{1}{2})) \end{eqnarray*}$

Nach dem ausmultipizieren würde ich auf:

$\begin{eqnarray*} ((-\frac{3}{4})^{2n+2}+(\frac{9}{4})^{n+1}+(\frac{1}{4})^{n+1}-(\frac{3}{4})) \end{eqnarray*}$

kommen.

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}* (-3^{2n+2}+10^{n+1}-3) \end{eqnarray*}$

Ich werde mir die Umformung aber nochmals ansehen, da ich gerne etwas übersehe.. smile

Vielen Dank nochmals! Gott

08.10.2018, 17:52

HAL 9000

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Oh, hier läuft wohl einiges schief... Ich rechne mal die Original-Doppelsumme vor, dann kannst du es ja nochmal mit deiner durch Indexvertauschung entstandenen Formel (die ja noch richtig war) versuchen.

Zunächst eine Hilfsrechnung: Aus $\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n q^j = \frac{1-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} q\neq 1 \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^n q^j = \sum_{j=0}^n q^j - \sum_{j=0}^{k-1} q^j = \frac{q^k-q^{n+1}}{1-q} \end{eqnarray*}$ , und mit $\begin{eqnarray*} q^{-1} \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ bedeutet das $\begin{eqnarray*} \sum_{j=k}^n q^{-j} = \frac{q^{-k}-q^{-(n+1)}}{1-q^{-1}} \end{eqnarray*}$ .

Nun zur eigentlichen Rechnung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n \sum_{j=k}^n 3^{k-j} &=& \sum_{k=0}^n 3^k\sum_{j=k}^n 3^{-j} = \sum_{k=0}^n 3^k\cdot \frac{3^{-k}-3^{-(n+1)}}{1-3^{-1}} = \frac{3}{2} \sum_{k=0}^n \left(1-3^{-(n+1)}\cdot 3^k\right)\\ &=& \frac{3}{2} \left(n+1 - 3^{-(n+1)}\cdot \sum_{k=0}^n 3^k\right) = \frac{3}{2} \left(n+1 - 3^{-(n+1)}\cdot \frac{3^{n+1}-1}{3-1} \right) = \frac{3}{4} \left(2n+1+ 3^{-(n+1)} \right) \end{eqnarray*}$ .

09.10.2018, 11:18

Lukas3558

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Oook, danke für deine Rechnung. Ich probiers also nochmal langsam von vorn:

Wenn ich den Term:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j} \end{eqnarray*}$

umschreibe zu:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^{j} \end{eqnarray*}$

kann ich ja ebenfalls die (endliche) geometrische Summenformel verwenden und das Ganze als:

$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n+1} \end{eqnarray*}$

schreiben, oder?

Ich würde dann bei meiner durch Indexverschiebung entstandenen Formel zunächst die innere Summe schreiben als:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^{j}\cdot (\frac{1-3^{n+1}}{1-3}) \end{eqnarray*}$

09.10.2018, 11:24

HAL 9000

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Hast du auch wirklich verstanden, was ich hier geschrieben hatte:

Zitat:

Original von HAL 9000
Da die innere Summe vom Index der äußeren Summe abhängt (ganz gleich, ob die Originaldoppelsumme oder auch deine Doppelsumme nach der Indexvertauschung), kann man das ganze nicht einfach als Produkt zweier Summen ansehen. D.h., man kann das NICHT als

$\begin{eqnarray*} \sum_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j \sum_{k=0}^j 3^k \stackrel{?}{=} \left( \sum_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j\right)\cdot \left( \sum_{k=0}^j 3^k \right) \end{eqnarray*}$

lesen, das ist grundverkehrt. unglücklich

Du beginnst schon wieder, auf diesen Fehler hinzuarbeiten, indem du den linken Term $\begin{eqnarray*} \left( \sum_{j=0}^n \left(\frac{1}{3}\right)^j\right) \end{eqnarray*}$ dieser falschen Umformung ausrechnest. Das bringt nichts ein!

Widme dich zuerst der wirklichen inneren Summe, das ist bei dir $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^j 3^k \end{eqnarray*}$ .

P.S.: Vielleicht hast du ja Schwierigkeiten mit der Zuordnung der Begriffe äußere Summation und innere Summation: $\begin{eqnarray*} {\color{blue}\sum_{j=0}^n} \left(\frac{1}{3}\right)^j {\color{red}\sum_{k=0}^j} 3^k \end{eqnarray*}$

09.10.2018, 12:15

Lukas3558

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Danke nochmals für deine Mühe! Es ist mir schon klar, was die innere und was die äußere Summe ist. Nur bin mir jetzt nicht sicher, ob ich die äußere Summe nun als:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} (\frac{1}{3})^{j} \end{eqnarray*}$

schreiben darf, da du meintest, das sei eine falsche Umformung.

Wenn ich es also so schreibe und die innere Summe ersetze durch:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j}\cdot(\frac{1-3^{j+1}}{1-3}) \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Ansatz? Da die innere Summe bis j läuft?

09.10.2018, 12:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lukas3558
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j}\cdot(\frac{1-3^{j+1}}{1-3}) \end{eqnarray*}$

Ist das der richtige Ansatz? Da die innere Summe bis j läuft?

So stimmt es. Nun vereinfachen, und dann hast du einen Term, den du wirklich über $\begin{eqnarray*} j \end{eqnarray*}$ summieren kannst. Nur Term $\begin{eqnarray*} 3^{-j} = \left(\frac{1}{3}\right)^j \end{eqnarray*}$ ist einfach nicht das, was hier anliegt.

10.10.2018, 10:46

Lukas3558

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Okay. Dann würde ich noch Hilfe bei der Vereinfachung brauchen.

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j} \cdot (\frac{3^{j+1}-1}{2}) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j}\cdot (3^{j+1}-1) \end{eqnarray*}$

= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j}\cdot (3^{j}\cdot 3 -1) \end{eqnarray*}$

Ich muss ja den Term so vereinfachen, dass das $\begin{eqnarray*} 3^{j} \end{eqnarray*}$ wegfällt oder? Damit ich:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j} \end{eqnarray*}$

wieder durch die geometrische Summenformel ersetzen kann und so ein Term mit der Variable n übrig bleibt. Nur weiß ich eben nicht genau, wie ich das machen darf. verwirrt

Denn auch bei deiner Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 3^{k}\cdot \frac{3^{-k}-3^{-(n+1)}}{1-3^{-1}} <br /> \end{eqnarray*}$

bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 3^{k} \end{eqnarray*}$ übrig..

10.10.2018, 11:42

klarsoweit

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Zitat:

Original von Lukas3558
= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\cdot \sum\limits_{j=0}^{n} 3^{-j}\cdot (3^{j}\cdot 3 -1) \end{eqnarray*}$

Ich muss ja den Term so vereinfachen, dass das $\begin{eqnarray*} 3^{j} \end{eqnarray*}$ wegfällt oder?

Du kannst einfach das $\begin{eqnarray*} 3^{-j} \end{eqnarray*}$ in die Klammer reinmultiplizieren. smile

10.10.2018, 14:57

HAL 9000

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Zitat:

Original von Lukas3558
Denn auch bei deiner Rechnung:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 3^{k}\cdot \frac{3^{-k}-3^{-(n+1)}}{1-3^{-1}} <br /> \end{eqnarray*}$

bleibt nur noch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} 3^{k} \end{eqnarray*}$ übrig..

Da irrst du dich - schau nochmal genau nach:

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^n 3^k\cdot \frac{3^{-k}-3^{-(n+1)}}{1-3^{-1}} = \frac{3}{2} \sum_{k=0}^n \left({\color{red}1}-3^{-(n+1)}\cdot 3^k\right) \end{eqnarray*}$

Hierbei gehen $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-3^{-1}} = \frac{1}{1-\frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} 3^k\cdot 3^{-k} = {\color{red}1} \end{eqnarray*}$ in die Rechnung ein.

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