Integral mit e-Funktion berechnen

09.10.2018, 15:23

Naryxus

Integral mit e-Funktion berechnen

Hey,

ich soll für ein bestimmtes Integral zeigen, dass es gleich Null ist.

Mein Integral ist $\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty}x\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)dx \end{eqnarray*}$ .

Ein Tipp war gewesen, dass man das Integral als Summe von zwei Integralen in den Grenzen $\begin{eqnarray*} (-\infty, 0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (0, \infty) \end{eqnarray*}$ darstellen soll. Um die Integrale aufzulösen, habe ich es dann mit partieller Integration versucht, bin dann aber hängen geblieben:

Mit $\begin{eqnarray*} u(x) = \frac{x^2}{2} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g(x) = \exp\left(-\frac{x^2}{2 \sigma^2}\right) \end{eqnarray*}$ und dementsprechend $\begin{eqnarray*} g'(x) = -\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right) \end{eqnarray*}$ gilt dann:

$\begin{eqnarray*} <br /> \int_{-\infty}^{\infty}xg(x)dx = \int_{-\infty}^{0}xg(x)dx + \int_{0}^{\infty}xg(x)dx<br /> = u(0)g(0) - f(-\infty)g(-\infty) - \int_{-\infty}^0u(x)g'(x)dx + f(\infty)g(\infty) - u(0)g(0) - \int_{0}^{\infty}u(x)g'(x)dx<br /> \end{eqnarray*}$

Damit habe ich aber mein Problem irgendwie nur verlagert...
Hat jemand eine Idee, ob ich einen falschen Weg gegangen bin?

Grüße

09.10.2018, 15:30

adiutor62

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RE: Integral mit e-Funktion berechnen
https://www.integralrechner.de/

09.10.2018, 15:44

HAL 9000

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Der Integrand ist eine ungerade Funktion, damit gibt es nur zwei Möglichkeiten:

Entweder existiert das Integral gar nicht, oder es hat Wert 0.

Da $\begin{eqnarray*} x\exp\left(-\lambda x^2\right) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \lambda>0 \end{eqnarray*}$ an den Rändern schnell genug fällt, ist es zweiteres.

Zitat:

Original von Naryxus
$\begin{eqnarray*} g(x) = \exp\left(-\frac{x^2}{2 \sigma^2}\right) \end{eqnarray*}$ und dementsprechend $\begin{eqnarray*} g'(x) = {\color{red}-\frac{x}{\sigma^2}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)} \end{eqnarray*}$

Hier mal ein wenig drüber nachgedacht kann man sofort Stammfunktion

$\begin{eqnarray*} \int x\exp\left(-\frac{x^2}{2 \sigma^2}\right) ~ \dd x = -\sigma^2\exp\left(-\frac{x^2}{2 \sigma^2}\right) + C \end{eqnarray*}$

folgern. Augenzwinkern

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