Vollständige Induktion mit Kettenbruch beweisen

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Bomby Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion mit Kettenbruch beweisen
Meine Frage:
Hallo zusammen

Ich stehe vor einer Uni-Aufgabe und komme einfach nicht mehr weiter, sogar mit Tipps.

Aufgabe: (Kettenbruch) Die Folge an sei rekursiv definiert durch a1 = 1/2 und an+1 = 1 /( 2 + (1/2+an)) für alle n aus den natürlichen Zahlen.

a) Beweise mit vollständiger Induktion :an^2 + 2an > 1 für alle n aus N.



Meine Ideen:
Mir ist das vorgehen bei der vollständigen Induktion völlig klar. Ich habe sogar Tipps von Tutoren bekommen die Gleichung zu vereinfachen, sodass nur noch ein Bruch da steht : 2 + an / 5 + 2an, jedoch habe ich jetzt überhaupt keine Ahnung wie es weitergehen soll.
Ich bin bis zur Behauptung gekommen und weiss jetzt nicht mehr weiter.
Behauptung: (an+1)^2 + 2an+1 > 1.

Ist dieser Ansatz richtig?
Bomby Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion mit Kettenbruch beweisen
Damit das ein bisschen besser aussieht:
und

1a) Beweisen Sie durch vollständige Induktion :

Ich hoffe es kann mir jemand helfen.
PWM Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion mit Kettenbruch beweisen
Hallo,

Dein Ansatz, die Formulierung der Induktionsbehauptung, ist richtig. Du brauchst jetzt nur noch durch die Rekursionsformel zu ersetzen und dann vereinfachen, zusammenfassen .... . Im Endeffekt ist dann die Induktionsbehauptung auf die Induktionsvorrausetzung zurückgeführt.

Gruß pwm
Bomby Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion mit Kettenbruch beweisen
Hallo PWM

Erstmal grosses Danke für deine schnelle Antwort, ist echt der Hammer.

Ich habs jetzt nochmals probiert und bin auf an > 1 gekommen, folglich müsste ja dann auch die Behauptung stimmen oder?

Hab meine Notizen hochgeladen; ich hoffe es ist alles klar ersichtlich.

Grüsse Bomby
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Binomische Formel: Es ist ...
Bomby Auf diesen Beitrag antworten »

Ohje danke ^^ muss ich gleich korrigieren.
 
 
Bomby Auf diesen Beitrag antworten »

Ja super jetzt bin ich auf an^2 +2an > 1 gekommen was die Annahme war, welche dadurch bestätigt wird.
Vielen Dank
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