Syntax von mathematischen Definitionen: Index der Matrix

11.10.2018, 22:25	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Syntax von mathematischen Definitionen: Index der Matrix Hi, Thema 1: ich sah mir einen Beweis an, der beweist, dass $\begin{eqnarray} (1)\qquad (AB)^{T} = B^{T}A^{T} \end{eqnarray}$ gilt. Schauen wir in die Definition der Transponierten: https://de.wikiversity.org/wiki/Matrix/K...erte/Definition Wir sehen so etwas wie $\begin{eqnarray} (2)\qquad (a_{ij})_{ij} \end{eqnarray}$ Der Beweis von (1) läuft irgendwie über die ij, ähnlich wie in (2). Das Problem ist, dass ich gar nicht weiß was (2) bedeutet. Dieser Ausdruck wird in der Definition der Transponierten verwendet, ist aber gar nicht Bestandteil von der Definition einer Matrix: https://de.wikiversity.org/wiki/Matrizen/IxJ/nxm/Definition Thema 2: Definitionen enthalten oft sowas wie "Es sei K ein Körper und M eine Matrix über K". Was bedeutet denn hier "über" ? Heißt das so viel wie "M eine Matrix, die nur Elemente enthält, die die Regeln von K einhält?" Danke - Enomine
12.10.2018, 10:23	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} A=(a_{i,j}) \end{eqnarray}$ ist eine $\begin{eqnarray} n\times m \end{eqnarray}$ -Matrix mit $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Zeilen und $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ Spalten (wobei $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ von 1 bis $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ von 1 bis $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ läuft). Mit $\begin{eqnarray} A_{l,k}=(a_{i,j})_{l,k} \end{eqnarray}$ bezeichnet man dann das Element der Matrix, das in der Zeile $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ und Spalte $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ steht. Für beide Indexpaare $\begin{eqnarray} i,j \end{eqnarray}$ zu verwenden ist nicht ganz so geschickt, denn in der Matrix sind $\begin{eqnarray} i \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j \end{eqnarray}$ Laufvariable, und wenn man ein bestimmtes Element der Matrix meint, muss man feste Indizes $\begin{eqnarray} l,k \end{eqnarray}$ zwischen $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ bzw. 1 und $\begin{eqnarray} m \end{eqnarray}$ wählen. Wenn es nicht zu Verwechslungen führt, ist aber gegen die Schreibweise $\begin{eqnarray} A_{i,j}=(a_{i,j})_{i,j} \end{eqnarray}$ nichts einzuwenden, man muss nur wissen, dass in der Matrix Laufvariable und außerhalb der Matrix feste Variable stehen. Eine $\begin{eqnarray} n\times m \end{eqnarray}$ -Matrix mit Elementen aus einem Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ nennt man eine Matrix "über" $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ , weil die Menge der $\begin{eqnarray} n\times m \end{eqnarray}$ -Matrizen bezüglich der Matrizenaddition und der skalaren Multiplikation mit Elementen aus $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ einen $\begin{eqnarray} n\cdot m \end{eqnarray}$ -dimensionalen $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum $\begin{eqnarray} Mat_{n\times m} \end{eqnarray}$ bildet. Ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum heißt auch Vektorraum "über" $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ .
12.10.2018, 15:20	Enomine	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke - Enomine

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