Zeige, dass R2 und R nicht homöomorph sind.

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PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »
Zeige, dass R2 und R nicht homöomorph sind.
Hallo zusammen,

ich muss für die Uni ein Aufgabenblatt erledigen aber mit einer Aufgabe kann ich leider so garnichts anfangen:
Die Räume R2 und R seien mit der ihren Standardtopologien versehen. Zeige, dass R2 und R nicht homöomorph sind.
Hinweis: Betrachte die Komplemente von einpunktigen Mengen



Kann mir jemand von euch zeigen wie das zu lösen ist?

Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nimm eine scharfe Schere und schneide einen Punkt aus der Geraden heraus - was passiert mit der Geraden ? Nimm eine (spitze) Nadel und piekse ein punktförmiges Loch in eine Ebene - was passiert mit der Ebene ? Na also, beide haben ein Loch, aber da passieren sehr unterschiedliche Sachen mit den Resten. Das nennt man "nicht homöomorph".
PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »

Okay soweit bin ich bei dir.

Das bedeutet im Bezug auf die Standard Topologie das ich lediglich zeigen muss, dass wenn eine Einpunktmenge (Ich gehe mal davon aus das du das mit dem Punkt meinst) aus R oder R2 genommen wird ein Effekt auf die übrigen Punkte auftritt?

Entschuldige bitte die plumpe Wortwahl bin noch im Physik Bachelor ....
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Einschränkungen von Homöomorphismen sind wieder Homöomorphismen. Ist ein Homöomorphismus, dann auch die Einschränkung für ein .

In unserem Beispiel unterschieden sich beide Räume nach Entfernen eines Punktes aber hinsichtlich einer bestimmten Eigenschaft, auf die Elvis hinaus wollte und die unter Homöomorphie erhalten bliebe.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gerade wird durch punktieren wesentlich anders verändert als die Ebene, nicht die anderen Punkte werden verändert. Wenn du eine Halbgrade festhältst, fällt die andere herunter (für PhysicinAction erlaube ich mir spaßeshalber die Gravitation auf die nicht fixierte Halbgerade wirken zu lassen Augenzwinkern ). Wie nennt man das, wenn ein topologischer Raum in eine (gelochte Ebene) oder zwei Komponenten (Halbgeraden) zerfällt ? zweiundvierzig weiß, worauf ich hinaus will, PhysicinAction jetzt bestimmt auch ...
PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr redet also von der Vollständigkeit?

Wie kann ich so einen Beweis führen? in der Physik besteht man seine Matheklausuren indem man rechnen kann ^^
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir reden vom topologischen Begriff "Zusammenhang".
Annahme: Gerade und Ebene sind homöomorph. Dann sind auch (siehe zweiundvierzig) die punktierte Gerade und die punktierte Ebene homöomorph. Die punktierte Gerade ist nicht zusammenhängend, die punktierte Ebene ist zusammenhängend, also sind sie nicht homöomorph. Widerspruch. qed
PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »

Ist das tatsächlich schon ein fertiger Beweis?
Wir bekommen Punkte auf die Beweisführung und es wäre cool wenn ich darauf alle bekommen könnte....
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Beweisteile richtig zusammenfügst und Stellen, die dir selbst noch unklar sind, genauer ausführst, wenn du dabei keine inhaltlichen und sprachlichen Fehler machst, wäre ich nicht abgeneigt, dir alle möglichen Punkte zu geben (viele wenn's, und es kommt nicht wirklich darauf an, ob ich dir Punkte geben würde).

Für mich ist das tatsächlich ein sehr guter Beweis. Wir gehen nicht auf den technischen Begriff homöomorph ein, der besagt, dass zwei topologische Räume genau dann homöomorph sind, wenn es eine Homöomorphie (beidseitig stetige Bijektion) zwischen den beiden topologischen Räumen gibt. Wir verwenden lieber den Sinn des Begriffs homöomorph, und der Sinn ist, dass im Rahmen der Topologie zwei topologische Räume genau dann völlig gleich sind, wenn sie homöomorph sind. Das ist genau wie in der Algebra, wo zwei isomorphe Strukturen im Rahmen der Algebra völlig gleich sind.
PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »

Dann schonmal sehr vielen Dank dafür wir sehen uns beim anderen Thema smile
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