Injektivität/Surjektivität/Bijektiv beweisen

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FragenderMathematik Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität/Surjektivität/Bijektiv beweisen
Meine Frage:
Ich soll die Abbildung f: Z->Z : x-> 4x auf Injektivität/Surjektivität/Bijektivität untersuchen.

Meine Ideen:
Surjektivität wäre:

für jedes x ? Z existiert ein x = y/4 mit f(x) = f(y/4) = 4*(y/4) = y => f ist surjektiv.

Bei der Injektivität komme ich nicht weiter, ich weiß zwar dass die Funktion injektiv ist. Kann es aber nicht mathematisch beweisen. Daraus folgt dann natürlich auch dass f bijektiv ist.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität/Surjektivität/Bijektiv beweisen
Zitat:
Original von FragenderMathematik
für jedes x ? Z existiert ein x = y/4 mit f(x) = f(y/4) = 4*(y/4) = y => f ist surjektiv.

Schau dir genau die Definition von Surjektivität an. Es muss heißen "für jedes existiert ein mit ". Stimmt das überhaupt?
FragenderMathematik Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt die Abbildung ist nicht Surjektiv da z.B f(x) = 2 bedeutet dass x = 0,25 ist und 0,25 ist kein Element der Ganzen Zahlen.
Injektiv ist sie aber trotzdem, wie Beweise ich das?
Oder kann ich einfach sagen, dass x Element Z ist und dass ein x multipliziert mit 2 immer größer für x>0 und immer kleiner für x<0 wird.
Das muss doch besser (mathematisch Korrekter) bewiesen werden können.
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von FragenderMathematik
Stimmt die Abbildung ist nicht Surjektiv da z.B f(x) = 2 bedeutet dass x = 0,25 ist und 0,25 ist kein Element der Ganzen Zahlen.

Richtig gedacht, aber einen Rechenfehler und man sollte das präziser formulieren.

Die Gleichung ist eindeutig in den rationalen Zahlen lösbar mit . Aber ist keine ganze Zahl.

Zitat:
Original von FragenderMathematik
Injektiv ist sie aber trotzdem, wie Beweise ich das?
Oder kann ich einfach sagen, dass x Element Z ist und dass ein x multipliziert mit 2 immer größer für x>0 und immer kleiner für x<0 wird.
Das muss doch besser (mathematisch Korrekter) bewiesen werden können.

Es stimmt, dass die Funktion , die zwischen zwei totalgeordneten Mengen verläuft, streng monoton (steigend) ist. Daraus folgt Injektivität.

Ich würde aber hier nicht damit argumentieren, sondern strikt die Definition von Injektivität anwenden: Setze an mit für .
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