Äquivalenz zweiter Aussagen zu Ringen

14.10.2018, 09:52	Colette	Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz zweiter Aussagen zu Ringen Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe Schwierigkeiten mit einer Aufgabe (und generell der Beweisführung in der Mathe). Ich soll die Äquivalenz zweier Aussagen beweisen: (1) Es existiert ein $\begin{eqnarray} z\in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, z \neq 0 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} z^{t} = 0 \end{eqnarray}$ für ein $\begin{eqnarray} t\in \mathxbb{N} \end{eqnarray}$ (2) Es existiert eine Primzahl mit $\begin{eqnarray} p^{2} \| n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Leider tu ich mir generell schwer mit der Beweisführung und mir fehlt der richtige Ansatz bzw. die Systematik. Grundsätzlich hatte ich als Ansatz an den kleinen Satz von Fermat gedacht: $\begin{eqnarray} a^{p} \equiv a \end{eqnarray}$ = mod p Allerdings weiß ich nicht genau, wie ich das ausformulieren soll. Ich bin für jede Unterstützung sehr dankbar.
14.10.2018, 11:21	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der chinesische Restsatz lässt uns den Restklassenring als direktes Produkt der Restklassenringe nach teilerfremden Moduln, insbesondere als direktes Produkt nach Primzahlpotenzmoduln erkennen. Restklassenringe nach Primzahlen sind Körper, also nullteilerfrei. Das beweist $\begin{eqnarray} (1)\Rightarrow (2) \end{eqnarray}$ . Die Umkehrung lässt sich vermutlich konstruktiv machen.
14.10.2018, 18:52	Colette	Auf diesen Beitrag antworten »
Supi das hilft mir schonmal weiter. Ich werde sicher da ne Weile dran knobeln müssen Es wäre nett, wenn ein Moderator den Latex-Teil der OP fixen könnte, da ich die leider noch "anonym" gepostet habe und daher nicht editieren kann.
15.10.2018, 12:00	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} (2)\Rightarrow (1) \end{eqnarray}$ beruht auch auf der Struktur der Restklassenringe (siehe oben). Ist $\begin{eqnarray} p^2\|n \end{eqnarray}$ , dann sei $\begin{eqnarray} p^k\|n,\lnot (p^{k+1}\|n) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} p^k=p^l\cdot p^m,1\le l,m\le k-1 \end{eqnarray}$ , und wegen $\begin{eqnarray} 0\equiv p^l\mod p\; (\forall l\in\{1,...,k-1\}) \end{eqnarray}$ sind alle $\begin{eqnarray} p^l \end{eqnarray}$ Nullteiler in $\begin{eqnarray} \mathbb Z/p^k\mathbb Z \end{eqnarray}$ , also auch die Elemente des direkten Produkts $\begin{eqnarray} \mathbb Z/n\mathbb Z \end{eqnarray}$ Nullteiler, die sich daraus bauen lassen. Potenzen sind offensichtlich genug dabei, denn die nicht- $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -Elemente sind alle beliebig wählbar, also speziell als beliebige $\begin{eqnarray} l \end{eqnarray}$ -te Potenzen. (Drücke ich mich klar genug aus ? Konstruktion ist oft etwas technisch, und du kriegst das bestimmt besser dargestellt als ich, du musst ja nur ein nilpotentes $\begin{eqnarray} z \end{eqnarray}$ explizit aufschreiben.)

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »