Kompakte topologische Räume, Relativtopologie Homöomorphismus

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PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »
Kompakte topologische Räume, Relativtopologie Homöomorphismus
Hallo zusammen,

also Mathe ist leider echt nicht mein Ding vorallem nicht Topologie. Deswegen bräuchte ich hilfe bei der Aufgabe in der angehängten Bilddatei.

Ich möchte das zumindest ein wenig lernen deswegen wäre ein halbwegs ausführlicher Lösungsweg echt schön.

Danke schonmal smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es hilft bestimmt, die Riemannsche Zahlenkugel ( https://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Zahlenkugel ) zu kennen, wenn man diese Aufgabe verstehen möchte.
Vielleicht in diesem Zusammenhang ebenfalls nützlich, an und für sich sehr wichtig, ist auch die stereografische Projektion ( https://de.wikipedia.org/wiki/Stereografische_Projektion ) .
PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »

Okay was ich also für die a) Zeigen muss ist das (C,o) Hausdorffsch ist, also

(X,O) heißt hausdorffsch, wenn es für alle x, y X mit x ungleich y offene Mengen U, V O gibt mit U vereinigt V = nicht Leer und x U und y V (aus unserem Skript)

Die Frage ist nun wie kann ich U,V in dem Kontext definieren?

zu b)
Alles klar vielen Dank für den Hinweis also sit das was hier steht die Definition einer Riemannschen Kugel mit der Unendlichkeit auf dem Nordpol für x1,x2,x3 = 0,0,1. Deshalb ist der Raum Homöomorph wenn ich den Nordpol auf den Südpol abbilden kann? hab ich das soweit richtig verstanden?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

a) die Umgebungen sind schon im Aufgabentext formuliert. Du musst nur noch die Kompaktheit beweisen.
b) Die Riemannsche Zahlenkugel ist eine Erweiterung der komplexen Zahlen um den Nordpol, der hier aus guten Gründen heißt. Die Sphäre ist die Oberfläche der Einheitskugel im , wie sie definiert ist, steht bei dir im Aufgabentext. Das sind zwei ganz verschiedene Dinge, aber sie sehen total gleich aus - ich sagte schon, dass der Sinn des Begriffs homöomorph darin besteht, dass man topologische Räume in der Topologie nicht unterscheiden kann. Ihrer Herkunft und mathematischen Natur nach, also ihrer Konstruktion nach, kann man die beiden Objekte wohl unterscheiden, aber topologisch sind das zwei völlig gleiche Kugeloberflächen. Um zu zeigen, dass die angegebene Abbildung ein Homöomorphismus ist, musst du bijektiv, stetig und umkehrbar stetig beweisen.
PhysicinAction Auf diesen Beitrag antworten »

Okay mitlerweile denke ich es wäre zuviel verlangt dich zu fragen ob du mir das auch konkret (a und b) zeigen könntest? Um die Klausur zu bestehen war es lediglich nötig eine ONB aus einer n x n Matrix A zu bilden und einmal Jordan Normalform bilden aus einer 4x4 Matrix...

Ich würde mich freuen wenn du das tun könntest kann aber sehr gut verstehen wenn dir das zu blöd ist.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist alles andere als blöd, das ist eine schöne Aufgabe, allerdings etwas arbeitsintensiv. Ich würde mit Teil b) anfangen, denn sobald der Nachweis erbracht ist, dass und homöomorph sind, ist a) klar. Das sieht man so: Die 2-Sphäre im ist beschränkt und abgeschlossen, also kompakt. Wegen der Homöomorphie ist mit auch kompakt.

b) scheint mir offensichtlich. Wenn es das nicht so ist, muss man injektiv, surjektiv, stetig einzeln formal beweisen.

c) ist eine weitere Übung in geometrischer Vorstellung auf der 2-Sphäre. Deshalb habe ich auf Riemannsche Zahlenkugel und stereographische Projektion hingewiesen. Geometrische Anschauung ist Kopfsache, das muss sich jeder selbst erarbeiten. Nachdenken, üben, Beispiele studieren, selber Zeichnen und Rechnen - das kann dir niemand abnehmen. Das Gehirn ist wie ein Muskel, es wird nur durch Training stärker. Du wirst kein Gewichtheber, wenn du den starken Männern zusiehst. Action ist gefragt, dein Name sei Programm. Augenzwinkern
 
 
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