Diagonalisierbakeit - Aufgabe

15.10.2018, 17:30	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalisierbakeit - Aufgabe Hallo zusammen, folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen, komme überhaupt nicht dadrauf , wie ich an diese herangehen soll: Sei $\begin{eqnarray} A \in M_2(\mathbb C) \end{eqnarray}$ nicht diagonalisierbar. Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} S \in GL_2(\mathbb C ) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb C \end{eqnarray}$ existieren, so dass $\begin{eqnarray} S^{-1}AS= \begin{pmatrix} \lambda & 1 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Kann mir bitte jemand erklären wie man diese Aufgabe löst ? Also wie man herangeht ? LG Snexx_Math
15.10.2018, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat das char. Pol. Nullstellen ? jedes komplexe Polynom hat genau wieviele komplexe Nullstellen ? Wieviele Nullstellen hat das char Pol. genau ? Bedenke, dass A nicht diagonalisierbar ist. Also bleibt nur noch die JNF übrig. Wie sieht die aus ?
15.10.2018, 20:39	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Soweit ich weiß zerfällt jedes komplexe Polynom in Linearfaktoren. Wenn A diagonalisierbar wäre, dann gäbe es 2 verschiedene EW. Und somit zwei verschieden Nullstellen. Da A aber nicht diagonalisierbar ist, gibt es wohl nur eine doppelte Nullstelle. Im Allgemeinen sollte jedes komplexe Polynom genauso viele Nullstellen haben wie der Grad des Polynoms. Was JNF ist weiß ich leider nicht.
15.10.2018, 22:06	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Fall 1. 2 verschiedene Nullstellen, dann diagonalisierbar. Fall 2a. Doppelte Nullstelle und Eigenraum 2-dimensional, dann diagonalisierbar. Fall 2b. Doppelte Nullstelle und Eigenraum 1-dimensional ,dann nicht diagonalisierbar. Man kann den Hauptraum und die Jordan-Normalform berechnen. Das ist genau das was die Aufgabe beschreibt.

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