Ungleichung beweisen

16.10.2018, 18:22

Snexx_Math

Ungleichung beweisen

Hallo zusammen,

folgende Aufgabe:

Zeigen Sie für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ , dass

$\begin{eqnarray*} \bigg (\frac{n}{e} \bigg)^n e \leq n! \leq \bigg (\frac{n+1}{e} \bigg )^{n+1} e \end{eqnarray*}$

Tipp: Nutzen Sie, dass für jede monotone Funktion f auf den reellen Zahlen die folgende Ungleichung gilt:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n} \! f(x) \, dx \leq \sum\limits_{x=1}^{n} f(x) \leq \int_{0}^{n} \! f(x+1) \, dx \end{eqnarray*}$

Ich hatte jetzt mit einer Induktion angefangen, sehe aber nicht wie der Tipp mir helfen könnte bzw. wie dieser anzuwenden ist , komme aber auch nicht ohne den Tipp weiter :/

IA: n=1

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{e}e \leq 1 =1! \leq \frac{4}{e} \end{eqnarray*}$

I.V. : Für ein fest gewähltes $\begin{eqnarray*} n\geq 1 \end{eqnarray*}$ gilt die Aussage.

I.S. : $\begin{eqnarray*} n \rightarrow n+1 \end{eqnarray*}$

zu zeigen: $\begin{eqnarray*} \bigg (\frac{n+1}{e} \bigg)^{n+1} e \leq (n+1)! \leq \bigg (\frac{n+2}{e} \bigg )^{n+2} e \end{eqnarray*}$

16.10.2018, 19:15

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math
sehe aber nicht wie der Tipp mir helfen könnte bzw. wie dieser anzuwenden ist

Ungleichung anwenden auf $\begin{eqnarray*} f(x)=\ln(x) \end{eqnarray*}$ .

17.10.2018, 11:29

Snexx_Math

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Also :

$\begin{eqnarray*} \bigg (\frac{n}{e} \bigg)^n e \leq n! \leq \bigg (\frac{n+1}{e} \bigg )^{n+1} e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ln\Bigg (\bigg (\frac{n}{e} \bigg)^n e \Bigg) \leq ln(n!) \leq ln\Bigg ( \bigg (\frac{n+1}{e}) \bigg )^{n+1} e\Bigg ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow ln\Bigg (\bigg (\frac{n}{e} \bigg)^n e \Bigg) \leq \sum\limits_{x=1}^{n} ln(x) \leq ln\Bigg ( \bigg (\frac{n+1}{e}) \bigg )^{n+1} e\Bigg ) \end{eqnarray*}$

Also hab ich die gewünschte Summe vom Hinweis erhalten, aber jetzt hapert's an den Integralen :/

Irgendeinen Tipp ? smile

EDIT:

Ich sehe gerade : $\begin{eqnarray*} ln\Bigg (\bigg (\frac{n}{e} \bigg)^n e \Bigg) = n\cdot ln(\frac{n}{e})+ln(e)=n\cdot \Big (ln(n)-ln(e) \Big ) +1 = n\cdot ln(n)-n+1 \end{eqnarray*}$

Dies kommt ja schon ziemlich nah an : $\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n} \! ln(x) \, dx = n(ln(n)-1) = n\cdot ln(n)-n \end{eqnarray*}$

Das gleiche kann man ja mit der rechten Seite machen und erhält:
$\begin{eqnarray*} ln\Bigg (\bigg (\frac{n+1}{e} \bigg)^{n+1} e \Bigg) = (n+1)ln(n+1)-(n+1)ln(e)+ln(e)= (n+1)ln(n+1)-n-1+1= (n+1)ln(n+1)-n \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{n} \! ln(x+1) \, dx = (n+1)(ln(n+1)-1) = (n+1)\cdot ln(n+1)-n-1 \end{eqnarray*}$

Dann auf beiden Seiten der Ungleichung -1 rechenen , dann erhalte ich meine Integrale , allerdings ist meine summe dann um 1 zu klein , wie behebe ich dieses letzte Problem ?

17.10.2018, 13:27

HAL 9000

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Also rechts steht das Problem nicht, da hast du dich einfach verrechnet (vermutlich wegen Ignorieren der unteren Grenze): Es ist

$\begin{eqnarray*} \int\limits_0^n \ln(x+1) ~ \dd x = \int\limits_1^{n+1} \ln(x) ~ \dd x = \left[x\ln(x)-x\right]_{x=1}^{n+1} = (n+1)\ln(n+1)-(n+1)-(1\ln(1)-1) = (n+1)\ln(n+1)-n \end{eqnarray*}$

Und links besteht das Problem ebenfalls nicht, wenn man erst bei $\begin{eqnarray*} x=2 \end{eqnarray*}$ beginnt zu summieren:

$\begin{eqnarray*} \int\limits_1^n \ln(x) ~ \dd x \leq \sum_{x=2}^n \ln(x) \end{eqnarray*}$ .

Den Sonderfall $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ erledigt man dann per Einzelbetrachtung (oder man akzeptiert $\begin{eqnarray*} \sum_{x=2}^1 \ln(x) = 0 \end{eqnarray*}$ als "leere" Summe).

17.10.2018, 14:12

Snexx_Math

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Ah danke! Jetzt leuchtet einiges ein smile

Ich hätte dann nur eine abschließende Frage :

$\begin{eqnarray*} ln((\frac{n}{e})^n\cdot e) = \int_{1}^{n} \! ln(x) \, dx \leq \sum\limits_{x=2}^{n} ln(x) = \sum\limits_{x=1}^{n} ln(x) \leq \int_{0}^{n} \! ln(x) \, dx = ln( (\frac{n+1}{e})^{n+1} e \end{eqnarray*}$
Ist dann die richtige Gleichungskette ?

Also benutzt man vom Tipp nur die rechte Ungleichung ?

Weil man würde ja den 2. Schritt damit begründen , dass die Summe eine Obersumme des Integrals von 1 bis n darstellt und somit größer ist oder ?

17.10.2018, 14:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von Snexx_Math (korrigiert)
$\begin{eqnarray*} ln((\frac{n}{e})^n\cdot e) = \int_{1}^{n} \! ln(x) \, dx \leq \sum\limits_{x=2}^{n} ln(x) = \sum\limits_{x=1}^{n} ln(x) \leq \int_{0}^{n} \! ln(x{\color{red}+1}) \, dx = ln( (\frac{n+1}{e})^{n+1} e \end{eqnarray*}$
Ist dann die richtige Gleichungskette ?

Mit den eingefügten Korrekturen: Ja.

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