Mengenlehre Beweis mit Widerspruch

17.10.2018, 12:21

nini17

Mengenlehre Beweis mit Widerspruch

Meine Frage:
Für jedes $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ wird Mn durch $\begin{eqnarray*} Mn = \left\{x\in \mathbb R|0<x<\frac{1}{n} \right\} \end{eqnarray*}$ de finiert. Beweisen Sie durch Widerspruch, dass

$\begin{eqnarray*} \cap Mn = \left\{ \right\} \end{eqnarray*}$ also für alle n element Natürliche Zahlen

gilt.

Meine Ideen:
Ich habe mir , dass wenn in dem Fall, dass der Durchschnitt die leere Menge ergibt für die Bedingung, dass für alle n element der natürlichen Zahlen gilt, dass x in der Menge Mn ist, müsste der Widerspruch ja genau heißen, dass es ein n gibt, für das das x nicht in Mn ist. Aber wie beweis ich das?

17.10.2018, 13:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von nini17
Ich habe mir , dass wenn in dem Fall, dass der Durchschnitt die leere Menge ergibt für die Bedingung, dass für alle n element der natürlichen Zahlen gilt, dass x in der Menge Mn ist

Weiß nicht wie es anderen geht, aber spätestens hier habe ich einen Knoten im Gehirn...

Ich nehme an, die meinst folgendes:

Du willst einen indirekten Beweis führen, d.h., die Annahme "es gibt ein $\begin{eqnarray*} x\in \bigcap\limits_{n\in\mathbb{N}} M_n \end{eqnarray*}$ " zum Widerspruch führen.

Ist es das? verwirrt

P.S.: Schreib nicht solche fürchterlichen Schachtelsätze, die nur berechtigten Anlass zu Missverständnissen geben.

17.10.2018, 13:39

nini17

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Ja das meine ich. Entschuldige meine unklare Ausdrucksweise. Habe einfach geschrieben, was ich mir gedacht hab.

Also ja ich dachte, dass man das so lösen kann, wenn man eben so ein x findet, dass das ja dann zum Widerspruch der Aussage führt.

Aber im Grunde genommen habe ich keinen Plan, ob man das Beispiel so angehen kann. Und wenn ja, weiß ich nicht, wie ich das zeigen kann.

17.10.2018, 14:17

PhyMaLehrer

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Das ist jetzt noch nicht bis zu Ende durchdacht; du sollst ja auch noch etwas zu tun haben... Augenzwinkern

Angenommen, es gibt eine reelle Zahl r, die in allen Mengen Mn enthalten ist, also zum Durchschnitt gehört, der demzufolge nicht leer wäre.
Dann (und genau über das Folgende müßte man noch nachdenken; die Intuition sagt mir, daß das richtig ist Big Laugh

) - also

Dann gibt es doch eine natürliche Zahl n mit 1/n < r. Und r ist in der zu diesem n gehörigen Menge Mn nicht drin, also liegt r doch nicht im Durchschnitt aller Mn.

Etwas unwissenschaftlich ausgedrückt: Eine Zahl, die zum Durchschnitt gehören sollte, müßte sehr nahe an Null liegen. Mit ausreichend großen n wird 1/n aber jede noch so kleine gegebene Zahl unterschreiten.

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