Stuhlkreis / Nebeneinandersitzen / Möglichkeiten / Wahrscheinlichkeiten

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dig1 Auf diesen Beitrag antworten »
Stuhlkreis / Nebeneinandersitzen / Möglichkeiten / Wahrscheinlichkeiten
Meine Frage:
7 Personen davon 3 Frauen und 4 Männer setzen sich in einen Stuhlkreis mit 7 Plätzen.

a) Wie viele Möglichkeiten gibt es, dass keine Frauen direkt nebeneinander sitzen?

b) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass keine Frau neben einer anderen sitzt?

c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass 3 Frauen nebeneinander sitzen ?

Meine Ideen:
Ich stehe auf dem Schlauch.


Mir ist bewusst, dass jeweils immer zwei Männer nebeneinander sitzen müssen, damit keine Frau neben einer anderen Frau sitzen kann.


Mir ist bewusst, dass sich die Wahrscheinlichkeit aus dem Quotient : Möglichkeiten für X durch alle Möglichkeiten errechnet.

Für Hilfe bin sehr dankbar.

Beste Grüße
diggi
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Fangen wir doch mit was einfachem an:

Wieviel Sitzvarianten gibt es überhaupt, d.h., ohne irgendwelche Nachbarbedingungen?

(Diese Anzahl benötigen wir sowieso, beim Übergang von a) nach b).)
 
 
dig1 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

7! = 5040 Möglichkeiten
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Exakt, das ist die richtige Anzahl aller Sitzvarianten. Kommen wir nun zu den für a) günstigen Sitzvarianten:


Es gibt nur einen Grundtypus für a), den du schon benannt hast: Zwei Männer sitzen nebeneinander, ansonsten sitzen Männer und Frauen alternierend.

D.h., wenn diese beiden Männer auf den ersten beiden Positionen sitzen, ist das Sitzordnung MMFMFMF. Sie können aber auch an den Positionen 2,3 oder 3,4 oder ... sitzen, also FMMFMFM usw. ... macht insgesamt 7 Varianten hinsichtlich der Gesamtzuordnung aller Sitzplätze zu den Geschlechtern, damit die Bedingung von a) erfüllt ist.

Bleibt noch die Zuteilung innerhalb der vier M sowie der drei F, das sind reine Permutationsrechnungen: 4! für die M und 3! für die F.

Das ergibt insgesamt welche Anzahl?
dig1 Auf diesen Beitrag antworten »

7 Varianten mal ( 4! mal 3! ) = 7 mal (24 mal 6 ) = 1008 ? günstige Sitzvarianten
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist richtig. Und mit der oben bereits berechneten Gesamtanzahl ist b) nur noch eine Zeile.


Bei c) kann man ganz ähnlich vorgehen wie bei a). Auch hier gibt es nur den einen Grundtypus FFFMMMM, der aber ebenfalls wieder "durchrotiert" werden kann, also 7 Varianten. Und auch sonst ergeben sich (im ersten Moment vielleicht verblüffende) Parallelen zu dem vermeintlich doch ganz anderen Fall a). Augenzwinkern
dig1 Auf diesen Beitrag antworten »

b)

P(x) = Wahrscheinlichkeit, dass keine Frau neben einer anderen sitzt

P(x) = Günstige Sitzplatzmöglichkeiten / Alle Möglichkeiten

P(x) = 1008 / 5040 = 0,20

Antwort : Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass keine Frau neben einer anderen sitzt, beträgt 20%.

c)

P(y) = Wahrscheinlichkeit, dass 3 Frauen nebeneinander sitzen.

Varianten : Veranschaulichung

FFFMMM, MFFFMMM, MMFFFMM, MMMFFFM, MMMMFFF, FMMMMFF, FFMMMMF

Anzahl der günstigen Sitzplatzvarianten : 7 mal (3! mal 4!) = 1008

...s.o.


Großes DANKE HAL 9000 !!! Gott
PWM Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

habe mal eine Verständnisfrage zu Eurem Lösungsdialog: Könnte bei "Stuhlkreis" nicht gemeint sein, dass alle "Rotationslösungen" als gleich angesehen werden. Bei 7 Personen gäbe es dann doch nur 6! Platzierungen?

Gruß pwm
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ein berechtigter Einwurf - spielt hier aber nur bei a) eine Rolle. Wenn der Aufgabensteller nicht explizit festlegt, wann zwei Möglichkeiten als gleich/verschieden anzusehen sind, hat man selber die Wahl - sollte aber seine Sichtweise zum Begriff "Möglichkeit" deutlich kommunizieren.

Wenn man also doch zwei Sitzvarianten als gleich ansieht, wenn sie durch Rotation ineinander übergehen, dann sind alle hier genannten Anzahlen - die günstigen wie die gesamten - durch 7 zu dividieren.

Genauso könnte man sich überdies auch noch vorstellen, dass durch Spiegelung ineinander übergehende Varianten auch noch gleich sind - eine weitere Division durch 2... smile
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