Integral Lambert'sche Funktion

17.10.2018, 20:22	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Lambert'sche Funktion meine Lieblingsfunktion, hier noch zusätzlich verpackt: $\begin{eqnarray} I=\int_{0}^{\infty }\mathcal W\left(\tfrac {1}{t^2}\right) \dd t \end{eqnarray}$ meine Ideen: $\begin{eqnarray} I= \frac 12 \int_0^\infty \frac{\mathcal W(u)}{u^{3/2}} \dd u \end{eqnarray}$ ... ? unüberwindliche Hürden oder durchaus machbar?
17.10.2018, 20:43	adiutor62	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Lambert'sche Funktion https://www.wolframalpha.com/input/?i=in...mbert-function+(1%2Ft%5E2)+from+0+to+infinite Mehr fällt mir dazu nicht ein.
17.10.2018, 20:48	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integral Lambert'sche Funktion Es ist (per Substitution $\begin{eqnarray} z=y^2 \end{eqnarray}$ ) $\begin{eqnarray} I = \int\limits_0^{\infty} \frac{1}{\sqrt{y}} e^{-\frac{y}{2}} ~ \dd y = 2\int\limits_0^{\infty} e^{-\frac{z^2}{2}} ~ \dd z =\sqrt{2\pi} \end{eqnarray}$ .
17.10.2018, 21:43	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Siehe dazu auch Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_...inite_integrals
18.10.2018, 02:24	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
prima, da steht ja mein Integral nach Substitution unter POS 2 nur ohne Faktor 1/2 sowie der erwarteten längeren Herleitung. Und $\begin{eqnarray} \Gamma(x) \end{eqnarray}$ sind anscheinend tabellierte Werte. Was schreiben die Amis da eigentlich hartnäckig $\begin{eqnarray} x\sqrt x \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} x^{3/2} \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} \sqrt {x^3} \end{eqnarray}$ ? Und was schreiben die denn als Betragsstrich wenn die Eins als Strich geschrieben wird?
18.10.2018, 07:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Idee oben war etwas anders: Statt $\begin{eqnarray} y=W\left(\frac{1}{t^2}\right) \end{eqnarray}$ über $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ zu integrieren, kann man die Fläche unter der oben skizzierten Kurve genauso auch als Integral über $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ bestimmen. Dazu muss man die Umkehrfunktion bestimmen, was via $\begin{eqnarray} ye^y &=& \frac{1}{t^2}\\ \frac{1}{\sqrt{y}}e^{-\frac{y}{2}} &=& t \end{eqnarray}$ gelingt.
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18.10.2018, 09:49	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
sehr einleuchtend wenn man gute Ideen hat, dann ist Mathe gar nicht so schwer

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