Vollständige Zerlegung Mengenlehre

17.10.2018, 20:39

Kathreena

Vollständige Zerlegung Mengenlehre

a.) Sei $\begin{eqnarray*} \zeta = \left\{ Z_1, Z_2, ... Z_k \right\} \end{eqnarray*}$ eine Zerlegung von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} E \subset \Omega \end{eqnarray*}$ .

Zu zeigen:
Das System der Durchschnitte von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ mit allen Mengen von $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ bildet eine uneigentliche Partition von $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ (eine Zerlegung mit Ausnahme davon, dass nun einige Zerlegunsmengen die leere Menge sein können)

b.) Man zeigem dass das System $\begin{eqnarray*} \zeta \end{eqnarray*}$ von Teilmengen mit $\begin{eqnarray*} \zeta = \left\{ A \cap B^c , A^c \cap B, A \cap B, (A \cup B)^c \right\} \end{eqnarray*}$ eine Partition von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ bildet.

Meine Idee:

a.)
Die vollständige Zerlegung sagt ja, das:
$\begin{eqnarray*} Z_i \neq \emptyset \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_i \cap Z_j = \emptyset , i \neq j \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z_1 \cup Z_2 ..... \cup Z_k = \Omega \end{eqnarray*}$

zu zeigen das: $\begin{eqnarray*} \left\{Z_1 \cap E, Z_2 \cap E..... Z_k \cap E \right\} \end{eqnarray*}$ eine uneigentliche Zerlegung bildet. Also $\begin{eqnarray*} Z_i \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt nicht für alle i.

Weiß nicht ob das reicht wenn ich das zeige:

$\begin{eqnarray*} (Z_1 \cap E) \cup (Z_2 \cap E) \cup ....(Z_k \cap E) = (Z_1 \cup .... Z_k) \cap E = \Omega \cap E = E \end{eqnarray*}$

b.)
$\begin{eqnarray*} x \in \Omega \end{eqnarray*}$ beliebig gilt:

$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \in B \Rightarrow x \in A \cap B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \notin A \land x \in B \Rightarrow x \in A^c \cap B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \in A \land x \notin B \Rightarrow x \in A \cap B^c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \notin A \land x \notin B \Rightarrow x \in A^c \cap B^c \leftrightarrow x \in (A \cup B)^c \end{eqnarray*}$

Und ja, da is alles drinn. Ich könnte auch alles vereinigen und dann käme 1 raus.
Also $\begin{eqnarray*} (A \land B) \lor (A^c \land B) ...... = 1 \end{eqnarray*}$

18.10.2018, 08:52

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kathreena
zu zeigen das: $\begin{eqnarray*} \left\{Z_1 \cap E, Z_2 \cap E..... Z_k \cap E \right\} \end{eqnarray*}$ eine uneigentliche Zerlegung bildet. Also $\begin{eqnarray*} Z_i \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ gilt nicht für alle i.

$\begin{eqnarray*} Z_i \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ hast du doch vorausgesetzt!
Was du vielleicht meinst ist, dass bei Festlegung $\begin{eqnarray*} Z_i':=Z_i\cap E \end{eqnarray*}$ die Eigenschaft $\begin{eqnarray*} Z_i' \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ nicht notwendig für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ gelten muss. Das ist aber nichts, was irgendwie beweiswürdig ist - es gibt schließlich auch Mengen $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ , wo es keine solchen "Ausnahmen" gibt, beispielsweise $\begin{eqnarray*} E=\Omega \end{eqnarray*}$ . Andererseits gilt für $\begin{eqnarray*} E=\emptyset \end{eqnarray*}$ sogar $\begin{eqnarray*} Z_i'=\emptyset \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kathreena
Weiß nicht ob das reicht wenn ich das zeige:

$\begin{eqnarray*} (Z_1 \cap E) \cup (Z_2 \cap E) \cup ....(Z_k \cap E) = (Z_1 \cup .... Z_k) \cap E = \Omega \cap E = E \end{eqnarray*}$

Naja, die andere Eigenschaft $\begin{eqnarray*} Z_i'\cap Z_j'=\emptyset \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ ist natürlich auch nachzuweisen, auch wenn das nur ein Einzeiler ist.

Zitat:

Original von Kathreena
Ich könnte auch alles vereinigen und dann käme 1 raus.

Nicht 1, sondern $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ kommt bei der Vereinigung heraus. Das wäre auch der Weg, den ich vorziehen würde.

Auch hier für diese vier Mengen ist die paarweise Disjunktheit nachzuweisen.

18.10.2018, 17:06

Kathreena

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Merci,

Was ist mit paarweiser Disjunktheit gemeint ?
Beweisen das kein Element von $\begin{eqnarray*} A \cap B^c \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} A^c \cap B \end{eqnarray*}$ drinn ist ?

Also das folgendes NICHT gilt:
$\begin{eqnarray*} A \cap B^c \subset A^c \cap B \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} A^c \cap B \subset A \cap B^c \end{eqnarray*}$

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