dgl 1 Or

18.10.2018, 12:39

georg2000

dgl 1 Or

Hallo es ist $\begin{eqnarray*} x^2(1+y^2)+4yy'=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} y(0)=-1 \end{eqnarray*}$

gegeben , man soll das Anfangswertproblem Lösen und geben Sie das maximale Intervall an, auf dem die Lösung existiert an.

wenn ich nach x umstellen möchte komme ich auf :
$\begin{eqnarray*} 4yy'/(1+y^2)=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4ydy/dx/(1+y^2)=x^2 \end{eqnarray*}$
dann folgt : $\begin{eqnarray*} 4ydy/(1+y^2)=dx*x^2 \end{eqnarray*}$

beidseitiges integrieren ergibt : $\begin{eqnarray*} 4*1/2*ln(y^2+1)=x^3/3+ln(c) \end{eqnarray*}$ ich habe die Konstante ln(c) reichseitig dazugegeben.

umstellen wieder : $\begin{eqnarray*} y^2+1=c*e^{x^3/6} \end{eqnarray*}$

dann : $\begin{eqnarray*} y=\sqrt{c*e^{x^3/6}-1} \end{eqnarray*}$

stimmt das mal soweit?

18.10.2018, 12:53

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zwei Fehler, beide haben mit Vorzeichen zu tun:

1) Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{4yy'}{1+y^2} = -x^2 \end{eqnarray*}$ , in der Konsequenz gelangt man zu $\begin{eqnarray*} y^2 = c\cdot e^{-\frac{x^3}{6}}-1 \end{eqnarray*}$ .

2) Die Auflösung letzterer Gleichung führt zu zwei möglichen Zweigen $\begin{eqnarray*} y = \pm\sqrt{c\cdot e^{-\frac{x^3}{6}}-1} \end{eqnarray*}$ . Angesichts der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} y(0)=-1 \end{eqnarray*}$ ist die Betrachtung des Minus-Zweiges ein wichtiger Punkt...

18.10.2018, 13:09

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Hal 9000 , Danke !

für den - Zweig bekomme ich dann :

$\begin{eqnarray*} -1=- \sqrt{c*e^{-0^3/6}-1}=\sqrt{c*1-1} \end{eqnarray*}$

dh $\begin{eqnarray*} 1=c-1 \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} c=2 \end{eqnarray*}$

andersherum hätte ich keine Lösung in R da $\begin{eqnarray*} -1=\sqrt{c-1} \end{eqnarray*}$ die Wurzel ja nicht negativ ist.

18.10.2018, 13:26

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, genauso ist es. Freude

18.10.2018, 13:34

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

okay und der Definiitonsbereich ist dann :

wo die Wurzel nicht negativ ist :
bzw wenn c=2 dann muss gelten $\begin{eqnarray*} 2*e^{x^3/6}-1 \ge 0 \end{eqnarray*}$

umstellen und mit ln anwendne ergibt : $\begin{eqnarray*} -x^3\ge 6* ln(1/2)=6*-1*ln(2) \end{eqnarray*}$

also $\begin{eqnarray*} x \ge 3\sqrt{6ln(2)} \end{eqnarray*}$ die dritte wurtzel ist gemeint .

18.10.2018, 14:19

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von georg2000
$\begin{eqnarray*} -x^3\ge 6* ln(1/2)=6*-1*ln(2) \end{eqnarray*}$

Negative Zahlen klammert man normalerweise, wenn man links noch was dranmultipliziert, d.h. $\begin{eqnarray*} -x^3\ge 6\cdot \ln(1/2) = 6\cdot (-1)\cdot \ln(2) = -6\ln(2) \end{eqnarray*}$ .

Dann begehst du leider den Fehler, bei der Multiplikation der Ungleichung mit (-1) das Relationszeichen beizubehalten. Richtig geht es so weiter

$\begin{eqnarray*} x^3 \le 6\ln(2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x \le \sqrt[3]{6\ln(2)} \end{eqnarray*}$ .

Wäre ja auch irgendwie reichlich seltsam, wenn der x-Wert der Anfangsbedingung (hier: x=0) nicht im Definitionsbereich der Lösung liegt - sowas sollte man als Plausibilitätskontrolle merken.

18.10.2018, 14:31

georg2000

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke , dann ist hier alles klar ! Wink

Neue Frage »

Antworten »

dgl 1 Or

Verwandte Themen