Stammfunktion zu einer ln

06.03.2007, 15:50

andreasbalzer

Stammfunktion zu einer ln

Hallo!
Irgendwie finde ich es klasse, dass eine solche Anlaufstelle für dummys wie mich gibt smile

Aaalso.. Ich habe gerade eine ln Fkt vor mir, die folgendermaßen ausschaut:
$\begin{eqnarray*} f(x) = ln(1+x²) \end{eqnarray*}$
Diese schicke Funktion will von mir integriert werden.. ..leider ohne Erfolg. Meine bisherigen Überlegungen:
$\begin{eqnarray*} F(x) = ln(y)~dx[latex], wobei [latex]\frac{dy}{dx}=2x \end{eqnarray*}$ (entspricht der inneren Ableitung)
dann habe ich also:
$\begin{eqnarray*} F(x) = ln(y) \frac{1}{2x}~dy \end{eqnarray*}$
aber was ist jetzt die Ableitung von ln und was mache ich mit dem 2x?

06.03.2007, 15:53

klarsoweit

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RE: Stammfunktion zu einer ln
Substitution ist vermutlich keine gute Idee. Ich würde es mit partieller Integration versuchen:

$\begin{eqnarray*} \int~1 \cdot ln(1+x^2)~dx \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 16:10

andreasbalzer

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und wie geht das dann? würdest du u=ln(1+x^2) und v'=1 setzen?

06.03.2007, 16:13

system-agent

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exakt

06.03.2007, 16:35

andreasbalzer

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So.. nach zweifacher Produktintegration bekomme ich dann folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} F(x) = xln(1+x^{2}) + \frac{x}{1+x^{2}} + \int \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

Leider ist mir für den letzten noch zu integrierenden Term der Rechenweg völlig entglitten.. :-/ Wie integriert man $\begin{eqnarray*} (1+x^{2})^{-1} \end{eqnarray*}$ ?

06.03.2007, 16:47

Rare676

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$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^2} =1+\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 16:49

andreasbalzer

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danke.. aber wie komme ich da drauf?

06.03.2007, 17:01

system-agent

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gar nicht, denn es ist falsch!
$\begin{eqnarray*} \int~\frac{1}{1+x^2}~\dd x=\arctan(x) \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 17:14

Rare676

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ja, arctan x fiel mir nun auch gerade auf. Haste recht...
Aber warum ist meins falsch?

06.03.2007, 17:18

Calvin

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Zitat:

Original von Rare676
Aber warum ist meins falsch?

Weil $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b+c}\neq \frac{a}{b}+\frac{a}{c} \end{eqnarray*}$

Du hast das verwechselt mit $\begin{eqnarray*} \frac{a+b}{c}=\frac{a}{c}+\frac{b}{c} \end{eqnarray*}$

06.03.2007, 17:21

Rare676

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jo...hatte wohl gerade das brett vorm kopf....

06.03.2007, 17:36

klarsoweit

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Zitat:

Original von andreasbalzer
So.. nach zweifacher Produktintegration bekomme ich dann folgendes raus:
$\begin{eqnarray*} F(x) = xln(1+x^{2}) + \frac{x}{1+x^{2}} + \int \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

Wieso "zweifache Produktintegration"? Ich hab das jetzt nicht nachgerechnet, aber ich werde das Gefühl nicht los, daß da was falsch ist.

06.03.2007, 18:58

andreasbalzer

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naja, weil statt dem zweiten und dritten Term folgendes rauskam:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{2x^{2}}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$ Da ein x aus dem Zähler rausgenommen und Produktintegration.. Gibt's einen anderen Weg?

06.03.2007, 19:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von andreasbalzer
Da ein x aus dem Zähler rausgenommen und Produktintegration..

Die Rechnung würde ich gerne mal sehen. Augenzwinkern