Differenzierbarkeit

18.10.2018, 18:28

Sebastian75

Differenzierbarkeit

Hallo,
ich soll untersuchen, in welchen Punkten die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z) =|z|^2(|z|^2-2) \end{eqnarray*}$ holomorph ist.
Da der Betrag reell ist, habe ich doch eine relle Funktion, die aus differenzierbaren Funktionen besteht.
Ist das in diesem Fall so einfach oder habe ich etwas übersehen?

18.10.2018, 19:12

PWM

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RE: Differenzierbarkeit
Hallo,

so einfach ist es nicht. Wahrscheinlich sollst Du mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen argumentieren.

Gruß pwm

18.10.2018, 19:30

Sebastian75

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RE: Differenzierbarkeit
Aber wie denn?
Der Imaginärteil ist doch dann 0?

19.10.2018, 08:36

Sebastian75

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RE: Differenzierbarkeit
Muss dann gelten mit $\begin{eqnarray*} z= x+ iy \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 - 2 \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Dann müssen notwendigerweise die Cauchy- Riemannschen Diff-gleichungen gelten:

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial }{\partial x}(x^2+y^2 - 2 \sqrt{x^2+y^2}) = 2x -\frac{2x}{\sqrt{x^2+y^2}}=0 \end{eqnarray*}$

D.h für x=0 und für x=-y ist diese komplex diffbar. Stimmt das?

19.10.2018, 09:19

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sebastian75
$\begin{eqnarray*} x^2+y^2 - 2 \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$

Wovon redest du? $\begin{eqnarray*} f(z)=|z|^2(|z|^2-2) = u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ geschrieben heißt

$\begin{eqnarray*} u(x,y) = (x^2+y^2)(x^2+y^2-2) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v(x,y) = 0 \end{eqnarray*}$ .

19.10.2018, 09:26

Sebastian75

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Du hast Recht. Da habe ich mich ordentlich verzettelt.

Also nochmal:
$\begin{eqnarray*} u_x = 2x (x^2+y^2-2)+(x^2+y^2)2x=2x(x^2+y^2-2+x^2+y^2)=2x( 2x^2+2y^2 -2)=0=v_y \end{eqnarray*}$

Das ist erfüllt für x=0 und $\begin{eqnarray*} 2x^2+2y^2-2=0 \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

Entprechend gilt:

$\begin{eqnarray*} u_y= 2y(2x^2+2y^2-2)=0=-v_x \end{eqnarray*}$

Dies ist erfüllt für y=0 und $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

Wie kann ich das zusammenfassen?

19.10.2018, 10:15

Huggy

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Da ist nicht mehr viel zusammenzufassen. Mit diesem Ergebnis kannst du einen Satz formulieren:
Die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen sind in den Punkten $\begin{eqnarray*} (x,y) = ... \end{eqnarray*}$ erfüllt. Also ist die Funktion in diesen Punkten komplex differenzierbar. Das war allerdings nicht die Frage. Gefragt war, in welchen Punkten die Funktion holomorph ist. Die lässt sich jetzt auch beantworten. Du musst nur den Unterschied zwischen $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar und $\begin{eqnarray*} f(z) \end{eqnarray*}$ ist im Punkt $\begin{eqnarray*} z_0 \end{eqnarray*}$ holomorph kennen.

19.10.2018, 10:22

HAL 9000

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Vielleicht hast du die Holomorphie im Punkt $\begin{eqnarray*} z_0=x_0+iy_0 \end{eqnarray*}$ nicht richtig verstanden:

Es reicht nicht aus, dass die Cauchy-Riemann-DGL in $\begin{eqnarray*} z=z_0 \end{eqnarray*}$ gelten, sondern es muss eine (und sei sie auch noch so kleine) Umgebung dieses Punktes geben, wo diese DGL gelten.

Eine solche Umgebung wirst du für deine ermittelten Punkte nicht finden.

EDIT: ...Upps, zu spät, hatte Huggys Beitrag noch nicht gesehen. Augenzwinkern

19.10.2018, 10:38

Sebastian75

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Danke für eure Antworten.
Der Unterschied ist jetzt klar.
Wenn ich erstmal nur die komplexe Diffbarkeit haben will, wie muss ich das formulieren.
Alle Punkte (x,y) die auf dem Einheitskreis liegen und alle Punkte für die x=0 gilt?

19.10.2018, 11:01

Huggy

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Das passt nocht nicht ganz. Das mit dem Einheitskreis stimmt. Wenn aber $\begin{eqnarray*} x = 0 \end{eqnarray*}$ ist, so ist die zweite Cauchy-Riemannsche DGL doch dort nicht für alle $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ erfüllt.

19.10.2018, 11:07

Sebastian75

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Muss ich dann die Bedigungen x=0 und $\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$ zusammenfassen.
Dann hääte ich $\begin{eqnarray*} y^2=1 \end{eqnarray*}$ , also für $\begin{eqnarray*} y= \pm 1 \end{eqnarray*}$

19.10.2018, 11:11

Huggy

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Das wäre ja wieder auf dem Einheitskreis, der schon abgehakt ist. Die DGLs sind zusätzlich erfüllt in dem Punkt $\begin{eqnarray*} (x,y)=(0,0) \end{eqnarray*}$ , also im Ursprung.

19.10.2018, 11:16

Sebastian75

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Achso jetzt ist es klar.
Die Funktion ist nicht holomorph, da sie nicht in einer Umgebung um den Nullpunkt bzw. um die Einheitskreislinie komplex diffbar ist.

19.10.2018, 11:18

Huggy

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Richtig.
Besser sollte man sagen, die Funktion ist nirgends holomorph.

19.10.2018, 11:30

Sebastian75

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Ja du hast Recht. Danke Freude

Ich hätte noch eine Frage zu folgender Funktion:
$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} z^{-2k} \end{eqnarray*}$
Die würde ich wie folgt schreiben:

$\begin{eqnarray*} f(z)=\sum\limits_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{ z^{2} })^k -1 = \frac{1}{z^2-1} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{z^2}| <1 \Leftrightarrow 1> |z|^2 \Leftrightarrow 1>|z| \end{eqnarray*}$

Wenn ich dann wieder $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ setze komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2-y^2-1 + i 2 x y} \end{eqnarray*}$
Wie kann das in Real und Imaginärteil zwecks Diffbarkeitsuntersuchung aufspalten?

19.10.2018, 11:33

HAL 9000

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Zitat:

Original von Sebastian75 (korrigiert)
für $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{z^2}| <1 \Leftrightarrow 1 ~{\color{red}<}~ |z|^2 \Leftrightarrow 1~{\color{red}<}~|z| \end{eqnarray*}$

19.10.2018, 11:38

Sebastian75

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Danke für die Korrektur. Sorry unglücklich

19.10.2018, 11:40

Mathema

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Allgemein gilt für eine Funktion $\begin{eqnarray*} f:[0,\infty)\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} g: \mathbb{C}\to\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} g(z):=f(|z|) \end{eqnarray*}$ nur holomorph ist, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ konstant ist. Wenn du Lust hast, könntest du ja mal probieren dieses zu beweisen.

19.10.2018, 12:08

Sebastian75

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Also g(z) ist holomorph, d.h es müssen die Cauchy-Riemannschen Diff. gelten.
Sei $\begin{eqnarray*} f(z)= u + iv \end{eqnarray*}$ Ich lasse die Argumente bei u und v weg.
Dann ist $\begin{eqnarray*} g(z)= u^2+v^2 \end{eqnarray*}$ Dies soll c sein, also $\begin{eqnarray*} u^2+v^2 =c \end{eqnarray*}$

Ableiten nach x: $\begin{eqnarray*} 2 u u_x - 2 v v_x=0 \end{eqnarray*}$
bzw. nach y: $\begin{eqnarray*} 2 u u_y - 2 v v_y=0 \end{eqnarray*}$
Benutzen der Diffgleichungen:
$\begin{eqnarray*} uu_x - vu_y = 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} uu_y + vu_x = 0 \end{eqnarray*}$

Dann Quadrieren und Addition: Also

$\begin{eqnarray*} (u^2+v^2)( u_x^2+v_y^2)=0 \end{eqnarray*}$
Das ist 0, wenn einer der Faktoren 0 ist. Also es folgt $\begin{eqnarray*} u=v=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} u_x=v_y=0 \end{eqnarray*}$ und weiterhin $\begin{eqnarray*} u_y=-v_x=0 \end{eqnarray*}$ .
Aslo $\begin{eqnarray*} g'(z)=0 \end{eqnarray*}$
Das war eine Richtung. smile

19.10.2018, 13:09

Huggy

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Zitat:

Original von Sebastian75
für $\begin{eqnarray*} |\frac{1}{z^2}| <1 \Leftrightarrow 1> |z|^2 \Leftrightarrow 1>|z| \end{eqnarray*}$

Die linke Seite ist richtig, die erste Äquivalenz jedoch nicht.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{x^2-y^2-1 + i 2 x y} \end{eqnarray*}$

Wie kann das in Real und Imaginärteil zwecks Diffbarkeitsuntersuchung aufspalten?

Erweitere den Bruch mit dem konjugiert komplexen Nenner.

Falls ihr einen der folgenden Sätze schon hattet, geht es auch einfacher:

(1) Eine komplexe Potenzreihe mit Konvergenzradius $\begin{eqnarray*} r>0 \end{eqnarray*}$ ist im Inneren des Konvergenzkreises holomorph.

(2) Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten holomorpher Funktionen sind auf der Schnittmenge ihrer Holomorphiegebiete holomorph. Bei einem Quotienten muss man natürlich noch die Nullstellen des Nenners ausnehmen.

19.10.2018, 13:32

Sebastian75

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Danke Huggy, den Fehler in der Umformung hat HAL9000 schon korrigiert.
Mein Beweis für den Satz von Mathema ist ok?

Wir hatten leider die ganzen Sätze nicht, dann probiere ich es mit der Erweiterung:
Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-y^2}{x^4+2x^2y^2+y^4} + i \frac{2xy}{x^4+2x^2y^2+y^4} \end{eqnarray*}$

Das Abzuleiten wäre schon aufwendig. Geht das einfacher?

19.10.2018, 14:16

Huggy

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Zitat:

Original von Sebastian75
Danke Huggy, den Fehler in der Umformung hat HAL9000 schon korrigiert.

Teufel auch, weshalb habe ich die schon vorhandenen Antworten nicht gesehen?

Zitat:

Mein Beweis für den Satz von Mathema ist ok?

Die Antwort überlasse ich Mathema.

Zitat:

Wir hatten leider die ganzen Sätze nicht, dann probiere ich es mit der Erweiterung:Ich erhalte: $\begin{eqnarray*} \frac{x^2-y^2}{x^4+2x^2y^2+y^4} + i \frac{2xy}{x^4+2x^2y^2+y^4} \end{eqnarray*}$

Rechne das noch mal nach. Die -1 scheint bei deiner Rechnung verloren gegangen zu sein.

Zitat:

Das Abzuleiten wäre schon aufwendig. Geht das einfacher?

Kaum, wenn keiner der genannten Sätze bekannt ist.

19.10.2018, 14:34

Sebastian75

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Danke ich rechne das mal nach.

20.10.2018, 09:37

Sebastian75

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Hallo, Huggy.
Ich habe die Cauchy-Riemann-Diff berechnet und herausbekommen, dass sie übereinstimmen.
D.h doch, dass meine Funktion für alle |z|<1 holomorph ist und damit auch natürlich komplex diffbar?

20.10.2018, 10:00

Huggy

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Fast richtig und doch völlig falsch. Erinnere dich an die Korrektur von HAL.

20.10.2018, 10:04

Sebastian75

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Für |z|>1.
Tut mir leid. Wieder den gleichen Fehler gemacht.
Jetzt muss aber passen.

20.10.2018, 10:46

Huggy

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Zitat:

Original von Sebastian75
Jetzt muss aber passen.

Ja.

20.10.2018, 11:00

Sebastian75

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Danke

Noch eine letzte Frage:
Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)= ax+iby \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a,b \in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$
Dann gilt ja:
$\begin{eqnarray*} u_x = a = b=v_y \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} u_y=0= -u_x \end{eqnarray*}$

Wäre das dann schon alles an Betrachtung?

20.10.2018, 11:05

Huggy

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Weshalb sollte $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ gelten? Das ist doch nicht vorausgesetzt. Also müssen bei der Beantwortung die Fälle $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a\neq b \end{eqnarray*}$ unterschieden werden.

20.10.2018, 11:46

Sebastian75

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Ich meine, wenn f holomorph sein soll, dann müssen doch die Cauchy-Diff. gelten und damit muss doch a=b sein ?

20.10.2018, 12:26

Huggy

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Das ist richtig.

20.10.2018, 13:58

Sebastian75

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Gut, aber sollte man deine Fallunterscheidung machen?

20.10.2018, 16:38

Huggy

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Es kommt darauf an, wie die Frage lautet. Bei z. B. "Ist diese Funktion holomorph?" sollte man eine Fallunterscheidung machen. Bei z. B. "Unter welcher Bedingung ist diese Funktion holomorph?" genügt deine Antwort.

20.10.2018, 21:03

Sebastian75

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Die Formulierung ist, in welchen Punkten z ist f komplex diffbar bzw. holomorph.
In meinem Fall ist f für alle Punkte a=b komplex diffbar aber nicht holomorph oder?

21.10.2018, 08:46

Huggy

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Punkte bezieht sich bei dieser Frage auf die Punkte $\begin{eqnarray*} z=(x,y) \end{eqnarray*}$ der komplexen Zahlenebene und nicht auf die Punkte $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ . Die korrekte Antwort ist dann:

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(z)=ax+iby \end{eqnarray*}$ ist für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ holomorph. Das schließt komplex differenzierbar per Definition ein. Für $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ ist sie nirgends komplex differenzierbar und damit auch nirgends holomorph.

Für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ lautet die Funktion übrigens $\begin{eqnarray*} f(z)=ax+iay=a(x+iy)=az \end{eqnarray*}$ .

21.10.2018, 09:15

Sebastian75

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Noch eine Frage dazu.
Warum sollte sie dann auch in einer Umgebung diffbar sein, wenn a=b gilt?

21.10.2018, 09:26

Huggy

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Du verwechselst Umgebungen von $\begin{eqnarray*} z=(x,y) \end{eqnarray*}$ mit Umgebungen von $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ . Die Frage der komplexen Differenzierbarkeit bezieht sich doch auf die Differenzierbarkeit der Funktion nach der komplexen Variablen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ bei gegebenem $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Und bei $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} z=(x,y) \end{eqnarray*}$ komplex differenzierbar, also mit jedem Punkt $\begin{eqnarray*} z_0=(x_0, y_0) \end{eqnarray*}$ auch in einer Umgebung dieses Punktes.

21.10.2018, 09:40

Sebastian75

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Danke Huggy. Jetzt habe ich es endlich verstanden Gott

Vielen Dank für deine Hilfe und Bemühungen Freude

Ich wünsche dir einen schönen Sonntag smile

26.10.2018, 08:22

Sebastian75

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Hallo,
wie berechne von $\begin{eqnarray*} f(z) =|z|^2(|z|^2-2) \end{eqnarray*}$ .
f ist ja nur im Nullpunkt und auf der Einheitskreislinie diffbar.
Wie mache ich das dann?
Im Nullpunkt nach der lim Definition, dann erhalte ich f'(0)=0?

26.10.2018, 08:59

Huggy

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Wenn eine Funktion

$\begin{eqnarray*} f(z)=u(x,y)+iv(x,y) \end{eqnarray*}$

in einem Punkt komplex differenzierbar ist, dann gilt für diesen Punkt

$\begin{eqnarray*} f'(z)=u_x(x,y)+iv_x(x,y)= \frac 1 i (u_y(x.y)+iv_y(x,y)) \end{eqnarray*}$

Der Indizes bei $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ stehen dabei für die parteillen Ableitungen nach diesen Variablen. Wie $\begin{eqnarray*} u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ für deine Funktion ausehen, wurde ja schon vorher gesagt.

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