Integration der Reihe (e^x)/x

18.10.2018, 21:57

DerMaschbaustudent

Integration der Reihe (e^x)/x

Guten Abend,

ich habe eine Aufgabe, bei der ich nicht weis, ob man diese so rechnen kann und es wäre lieb, wenn ihr mal über meinen Ansatz drüber guckt. smile

Die Aufgabe lautet:

Bilden Sie die Stammfunktion als Potenzreihe (x>0): $\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! e^x/x \, dx \end{eqnarray*}$

Mein Ansatz wäre erst die Potenzreihe zu berechnen und diese dann zu integrieren.

Die Potenzriehe von $\begin{eqnarray*} e^{x} \end{eqnarray*}$ ist: $\begin{eqnarray*} 1+\frac{x}{1!} +\frac{x²}{2!} +\frac{X³}{3!} +\frac{x^{4}}{4!} +...... \end{eqnarray*}$

Die Potenzeihe von x ist: $\begin{eqnarray*} 1+x+x²+x³+x^{4}+..... \end{eqnarray*}$

Also wäre $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}}{x} =1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\frac{1}{4!} \end{eqnarray*}$

Die Integration dieser Funktion lautet dann:

$\begin{eqnarray*} \int_{a}^{b} \! \frac{e^{x}}{x} \, dx =(1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\frac{1}{4!}+.....)*x \end{eqnarray*}$

Ist der Ansatz korrekt?
Über jede Hilfe wäre ich sehr dankbar

Mit freundlichen Grüßen,

DerMaschbaustudent

18.10.2018, 22:12

Leopold

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RE: Integration der Reihe (e^x)/x

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
Die Potenzeihe von x ist: $\begin{eqnarray*} 1+x+x²+x³+x^{4}+..... \end{eqnarray*}$

Sinn!

Zitat:

Original von DerMaschbaustudent
Also wäre $\begin{eqnarray*} \frac{e^{x}}{x} =1+\frac{1}{1!} +\frac{1}{2!} +\frac{1}{3!} +\frac{1}{4!} \end{eqnarray*}$

Sinn!

"In Summen kürzen nur die ..."

Das Ganze von vorne.

18.10.2018, 22:31

DerMaschbaustudent

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Eine Potenzreihe ist doch allgemein: $\begin{eqnarray*} P(x)=\sum\limits_{k=1}^{n} a_{n} (x-x_{0})^n \end{eqnarray*}$

Für x, $\begin{eqnarray*} a_{n}=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{0}=0 \end{eqnarray*}$ die Potenzreihe doch dann: $\begin{eqnarray*} x^0+x^1+x^2+x^3+x^4+..... \end{eqnarray*}$ ???

19.10.2018, 06:42

Leopold

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$\begin{align*} x = 0 \cdot x^0 + 1 \cdot x^1 + 0 \cdot x^2 + 0 \cdot x^3 + 0 \cdot x^4 + \ldots \end{align*}$

Es ist ja alles viel einfacher und geht richtig so:

$\begin{align*} \frac{\operatorname{e}^x}{x} = \frac{1}{x} \cdot \left( 1 + x + \frac{1}{2!} x^2 + \frac{1}{3!} x^3 + \ldots \right) = \frac{1}{x} + 1 + \frac{1}{2!} x + \frac{1}{3!} x^2 + \ldots \end{align*}$

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