Mengengleichheit geordneter Paare

18.10.2018, 22:14

erstsemester

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Mengengleichheit geordneter Paare

Hallo zusammen,

zu verifizieren ist folgende Mengengleichheit.

$\begin{eqnarray*} \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} =\left\{ \left\{ y\right\}, \left\{ y,z\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Mein Lösungsansatz:

Ziel: Zwei Mengen $\begin{eqnarray*} A,B \subseteq X \end{eqnarray*}$ sind gleich, wenn gilt $\begin{eqnarray*} A \subseteq B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \subseteq A \end{eqnarray*}$ .

In obiger Mengengleichheit wird eine Menge definiert als geordnetes Paar. Somit verwende ich die Definition von Kuratowski $\begin{eqnarray*} (a,b):= \left\{ \left\{ a\right\}, \left\{ a,b\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

Damit vereinfacht sich die zu zeigende Mengengleichheit zu

$\begin{eqnarray*} (a,b)=(y,z) \end{eqnarray*}$

Zwei geordnete Paare sind gleich, wenn $\begin{eqnarray*} a=c \end{eqnarray*}$ UND $\begin{eqnarray*} b=z \end{eqnarray*}$ gilt.

Um zu zeigen für welche geordneten Paare die Mengengleichheit erfüllt ist, ist eine Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ durchzuführen.

Wie schreibe ich nun diese Fallunterscheidung von der Notation korrekt auf?

VG erststudi

18.10.2018, 22:36

Elvis

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Du hast völlig Recht, dass beide Mengen genau dann gleich sind, wenn a=y und b=z ist. Die Argumentation mit geordneten Paaren und eine Fallunterscheidung ist nicht nötig.

19.10.2018, 02:07

erstsemester

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RE: Mengengleichheit geordneter Paare
Die Mengengleichheit ist jedoch jetzt nur zu verifizieren. Hierfür sind Inklusionen/Implikationen zu zeigen und eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ durchzuführen.

Für Fall 1: a=b:

Ist $\begin{eqnarray*} \left\{ a\right\} \Rightarrow \left\{ a\right\} = \left\{ y\right\} \Rightarrow a=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{ a,b \right\} \Rightarrow \left\{ y,z \right\} \Rightarrow b=z \end{eqnarray*}$

Ist das korrekt? Wie Zeige ich formal die Fallunterscheidung?

19.10.2018, 11:38

Elvis

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Die erste Implikation $\begin{eqnarray*} \{a\}\Rightarrow \{a\}=\{y\} \end{eqnarray*}$ ist nicht verständlich und nicht begründet, deshalb ist dies kein Beweis. Inzwischen sehe ich ein, dass eine Fallunterscheidung (Fall 1; $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ , Fall 2: $\begin{eqnarray*} a\ne b \end{eqnarray*}$ ) notwendig ist. Du musst die Mengengleichheit zeigen, zwei Mengen sind genau dann gleich, wenn sie dieselben Elemente enthalten ("Extensionalitätsprinzip"). Dass Mengengleichheit $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ äquivalent zu Inklusionen $\begin{eqnarray*} A\subseteq B\wedge B\subseteq A \end{eqnarray*}$ ist, ist richtig, macht den Beweis hier aber nur komplizierter.

Die Mengenlehre ist (neben der Logik) deswegen zu der grundlegenden Theorie der Mathematik geworden, weil sie die einfachsten Objekte betrachtet und auf den einfachsten Prinzipien beruht. Es ist für dich nicht hilfreich, wenn du die hier zu betrachtenden Mengen als Paare betrachtest, denn das sind sie nicht. Ein geordnetes Paar war im 19. Jahrhundert ein geordnetes Paar $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ von Objekten, und niemand hat bezweifelt, dass die Reihenfolge von links nach rechts eine Ordnung eindeutig festlegt. Nach dem Aufkommen der Mengenlehre hat man sich Gedanken gemacht, welche Dinge Mengen sind und welche nicht. Wichtig war, dass Abbildungen $\begin{eqnarray*} f:A\to B, x\mapsto f(x) \end{eqnarray*}$ (auch Funktionen genannt) als Mengentripel $\begin{eqnarray*} (A,B,graph(f)=\{(x,f(x):x\in A\}) \end{eqnarray*}$ aufgefasst werden können. Tupel $\begin{eqnarray*} (a,b) \end{eqnarray*}$ sind Funktionen von $\begin{eqnarray*} \{1,2\}\subset \mathbb N \end{eqnarray*}$ in die Menge $\begin{eqnarray*} \{a,b\} \end{eqnarray*}$ , also Mengen. Um diese Sichtweise weiter zu vereinfachen, kann man auf natürliche Zahlen und sogar auf 1 und 2 verzichten, indem man $\begin{eqnarray*} (a,b):=\{a,\{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ definiert.

Lange Rede, kurzer Sinn: 1. $\begin{eqnarray*} (a,b)\ne\{\{a\},\{a,b\}\} \end{eqnarray*}$ . 2. Führe den Beweis so einfach wie möglich.

19.10.2018, 22:16

erstsemester

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Hi,

herzlichen Dank für deinen historischen Exkurs. Ich will einmal versuchen den Beweis anzutreten:

Zwei Teilmengen $\begin{eqnarray*} A,b \subset M \end{eqnarray*}$ sind gleich, wenn $\begin{eqnarray*} A=B \end{eqnarray*}$ gilt.

Für den Fall $\begin{eqnarray*} a=b \end{eqnarray*}$ :

aus $\begin{eqnarray*} \left\{\left\{a \right\}, \left\{a,b \right\} \right\} \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} \left\{ a \right\} = \left\{x \right\} \Rightarrow a=x \end{eqnarray*}$

und $\begin{eqnarray*} \left\{a,b \right\} = \left\{x,y \right\} \end{eqnarray*}$ , wenn $\begin{eqnarray*} a=x \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} b=y \end{eqnarray*}$ . Somit $\begin{eqnarray*} a=b=x=y \end{eqnarray*}$ Korrekt?

Dies scheint trivial. Vermutlich ist, sofern korrekt, die Fallunterscheidung $\begin{eqnarray*} a \neq b \end{eqnarray*}$ notwendig?

19.10.2018, 22:24

Elvis

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Das ist nicht trivial, denn wenn es trivial wäre, könntest du es beweisen. Leider bist du noch meilenweit von einem Beweis entfernt. Eine Menge ist eine Menge, aus einer Menge folgt nichts.

Tipp : Du musst beweisen, dass Mengen gleich sind. Das sind sie, wenn sie die gleichen Elemente haben. Bestimme die Elemente.

Gib dir bitte etwas mehr Mühe, ich glaube an dich. Wenn du bis morgen mittag nichts zustande bringst, versuche ich, weiter zu helfen ohne die Lösung komplett aufzuschreiben.

Anscheinend weißt du nicht einmal, was eine Fallunterscheidung ist. Lies den Begriff irgendwo nach und überdenke, was du damit machen kannst.

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20.10.2018, 00:22

erstsemester

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Hallo Elvis,

ich bin dir für deine Tipps sehr dankbar.

Zu zeigen ist, dass

$\begin{eqnarray*} A=B \Leftarrow \Rightarrow A \subseteq B \wedge B \subseteq A \end{eqnarray*}$ gilt.

$\begin{eqnarray*} \forall x: x \in A \Rightarrow x \in B \wedge x \in B \Rightarrow x \in A <br /> \end{eqnarray*}$

Jetzt sind die Elemente der Menge $\begin{eqnarray*} A:=\left\{\left\{a \right\}, \left\{ a,b \right\} \right\}<br /> \end{eqnarray*}$

Analog für die Menge B mit y,z.

Ich bin jetzt komplett verwirrt. Dachte es wäre nur zu zeigen, dass {a}={x] ist und daraus folgt.... Dies auch für die zweielementrige Menge und dann wäre es scon bewiesen?

Darf ich dich jetzt schon um einen teilweisen Lösungsansatz bitten, denn momentan verwirrt mich alles noch mehr. Vielleicht bekomme ich durch eine formale Darstellung eine Idee wie man dann auch die Fallunterscheidung macht?!"

Viele Dank.

20.10.2018, 09:00

Elvis

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Obwohl du für meine Tipps dankbar bist, hast du sie nicht gelesen, das finde ich sehr schade. Die Fallunterscheidung habe ich bereits gemacht : Fall 1 a=b, Fall 2 $\begin{eqnarray*} a\ne b \end{eqnarray*}$ Eine Fallunterscheidung muss alle möglichen Fälle beinhalten, mehr als gleich oder ungleich gibt es nicht.

Fall 1. $\begin{eqnarray*} a=b\Rightarrow \{\{a\}, \{a, b\} \} =\{\{a\}, \{a\} \} =\{\{a\}\} \end{eqnarray*}$

Vielleicht kommst du jetzt weiter, ich hatte dir ja schon gesagt, dass du die Mengen betrachten musst.

Nachtrag 1: Vielleicht wird nun auch klar, warum ich diese Menge nicht als Paar (a, a) verstehen möchte (mein historischer Exkurs ist darin begründet).
Nachtrag 2: Kuratowski habe ich nachgelesen, und ich verstehe nun gar nicht mehr, wie diese Definition funktionieren soll. Die Definition von Hausdorff gefällt mir wesentlich besser (erstens schätze ich H. als Mensch und als Mathematiker sehr, zweitens habe ich kein Problem mit den natürlichen Zahlen). ( https://glossar.hs-augsburg.de/Geordnetes_Paar )

20.10.2018, 19:12

erstsemester

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Genügt diese Vorgehensweise denn einem formal korrekten mathematischen Beweis?

Der Übersicht halber noch einmal kurz zusammengefasst:

Es ist die Gleichheit folgender Menge zu zeigen:

(i) $\begin{eqnarray*} <br /> \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,b\right\} \right\} =\left\{\left\{y \right\} , \left\{y,z\right\} \right\} <br /> \end{eqnarray*}$

Zu zeigen ist die Inklusion $\begin{eqnarray*} A\subseteq B \wedge B \subseteq A \end{eqnarray*}$

Die Fortführung hatte ich nun ein wenig fomalistischer angenommen, als :

$\begin{eqnarray*} Fall 1: a=b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \subseteq : a =b \Rightarrow \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,b\right\} \right\}= \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,a\right\} \right\}=\left\{\left\{a\right\}\right\} = \left\{\left\{y \right\} , \left\{y,z\right\} \right\}<br /> <br /> \end{eqnarray*}$

Aus dieser Gleichheit für a ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} \left\{\left\{a \right\}\right\} = \left\{\left\{y \right\}\right\} \Rightarrow a=y \end{eqnarray*}$

Somit folgt aus $\begin{eqnarray*} a=b=y \Rightarrow \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,b\right\} \right\}= \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,a\right\} \right\}=\left\{\left\{a\right\}\right\} = \left\{\left\{y \right\} , \left\{y,z\right\} \right\}= \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,z\right\} \right\}<br /> \Rightarrow a=z \end{eqnarray*}$

Also ist a=b=y=z.

Umgekehrte Inklusion durch Einsetzen in (i) ist trivial.

$\begin{eqnarray*} Fall 2: a \neq b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \subseteq : a\neq b \Rightarrow \left\{\left\{a \right\} , \left\{a,b\right\} \right\}= \left\{\left\{y \right\} , \left\{y,z\right\} \right\} \end{eqnarray*}$

aus $\begin{eqnarray*} a \neq b \Rightarrow \left\{a\right\} =\left\{y\right\} \Rightarrow a=y<br /> \end{eqnarray*}$ und aus $\begin{eqnarray*} \left\{a,b\right\} = \left\{y,b\right\} =\left\{y,z\right\} \Rightarrow a=y \wedge b=z \end{eqnarray*}$

Die Umgekehrte Inklusion ist trivial!

Ist dies korrekt und genügt den formalen Ansprüchen an eine Beweisführung? Sind triviale Aussagen trotzdem zu zeigen?

20.10.2018, 19:20

Elvis

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Was ich geschrieben hatte, war nur der Anfang des Beweises, nicht der ganze Beweis, es soll ja auch noch Gelegenheit für dich geben, etwas zu tun. Augenzwinkern

Augenzwinkern

a=b, dann ist {{a},{a,b}}={{a}}
zu zeigen ist nun : {{a}}={{y},{y,z}}, dann ist a=y und a=b=z

Ich kann nicht erkennen, wo du das jetzt bewiesen hast. Ich sehe wieder nur die Behauptung

Zitat:

Original von erstsemester
Aus dieser Gleichheit für a ergibt sich:
$\begin{eqnarray*} \{\{a\}\}=\{\{y\}\}\Rightarrow a=y \end{eqnarray*}$

Warum ist das so ? Speziell: wie wirst du das $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ los ?

20.10.2018, 20:10

erstsemester

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zu zeigen {a} ={{y},{y,z}] ,

dies ist nur erfüllt, wenn a=b 0=> {{a},{a,b}}={a},{a,a]} = {{y},{y,z}}

aus a=b folgt {{a}},{a,b}} = {{y}, {y,z}} , wenn {a}={y} und {a,b}={y,z}={a,z} == >a=b=z

Wie folgert man hier formal korrekt?

edit:
Die Kardinalität der einzelnen Elemente wird hoffentlich nicht benötigt werden?

20.10.2018, 22:02

Elvis

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Es geht nicht darum, ob etwas formal korrekt ist oder nicht. Es geht darum, einen logisch korrekten Beweis zu finden. Das setzt voraus, dass man denken und formulieren kann. Du musst mehr Respekt vor dem Denken haben, und den bekommst du am besten dadurch, dass du es selbst machst.

Wenn du mit dem Fall 1 Probleme hast, dann versuch es mit Fall 2, vielleicht geht das einfacher.

21.10.2018, 19:30

erstsemester

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Also ich vermute immer noch, dass hier die Definition eines Paares vorliegt.

Denn anders wüsste ich nicht, wie man aus der Erkenntnis a=b --> {{a}} = {{x},{x,y}} nun logisch formal korrekt auf die Elemente x,y schließen soll.

21.10.2018, 19:50

Elvis

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Mir ist wirklich nicht klar, wie man {{a}} als geordnetes Paar (a_1,a_2) auffassen kann, weil das anders geordnete Paar (a_2,a_1) ja dieselbe Mengendarstellung {{a}} hat. So etwas stört mein mathematisch-ästhetisches Empfinden, deshalb ziehe ich andere Paar-Darstellungen vor.

In deiner Aufgabe geht es ausschließlich um Mengen, deshalb darf die Auffassung als geordnete Paare nicht notwendig sein, und das ist sie auch nicht:

Fall 1 $\begin{eqnarray*} a=b\Rightarrow \{\{a\},\{a,b\}\}=\{\{a\}\}=\{\{y\},\{y,z\}\} \end{eqnarray*}$
Fall 1.1 $\begin{eqnarray*} y\ne z\Rightarrow \{y\}\ne\{y,z\}\Rightarrow 1=|\{\{a\}\}|<2=|\{\{y\},\{y,z\}\}|\Rightarrow \{\{a\}\}\ne\{\{y\},\{y,z\}\} \end{eqnarray*}$ Widerspruch
Fall 1.2 $\begin{eqnarray*} y=z\Rightarrow \{\{y\},\{y,z\}\}=\{\{y\}\}\Rightarrow \{\{a\}\}=\{\{y\}\}\Rightarrow a=y\Rightarrow b=a=y=z \end{eqnarray*}$

Fall 2 dürfte noch einfacher sein, deshalb hatte ich dich gebeten, darüber nachzudenken.

21.10.2018, 20:25

erstsemester

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Fall 2 wäre dann:

Fall 2.1 $\begin{eqnarray*} a \neq b \Rightarrow |\left\{a\right\}| =1= |\left\{x\right\}| \Rightarrow a=x \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} |\left\{a\right\}| =1 \neq |\left\{x,y\right\}|=2 \Rightarrow Widerspruch <br /> \end{eqnarray*}$

Fall 2.2

$\begin{eqnarray*} a \neq b \Rightarrow |\left\{a,b\right\}| =2= |\left\{x,y\right\}| \Rightarrow a=x, b=y \end{eqnarray*}$

Die Mengengleichheit besteht im Falle 2, wenn $\begin{eqnarray*} a \ne b \end{eqnarray*}$ gilt

Wie sehe das Ergebnis denn der Darstellung einer Inklusion aus?

21.10.2018, 21:57

Elvis

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Ich sehe die Logik nicht. Vielleicht musst du den Beweis einmal in Worte fassen. Mit Formeln kann man nur aufschreiben, was man wirklich verstanden hat.

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