Beweis Irrationaler Zahl

19.10.2018, 00:20

erstsemester

Beweis Irrationaler Zahl

Hi,

zu beweisen ist, dass die reelle Zahl $\begin{eqnarray*} \sqrt {3} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ keine rationale Zahl ist.

Lösungsansatz:

Die obige Aussage ist offensichtlich falsch. Somit möchte ich dies mittels Widerspruchsbeweis führen.

Sei nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt {3} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$ . Mit der Definition der rationalen Zahlen $\begin{eqnarray*} \mathbb Q := \left\{ \frac{m}{n} ;m,n \in Z, n\neq 0 \right\} \end{eqnarray*}$

Es wird angenommen, dass (i): $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} =\frac{m}{n} \end{eqnarray*}$ eine rationale Zahl ist. Weiterhin folgt ohne Einschränkung (OE) , $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind.

(Info: Sind m,n teilerfremd, dann ist entweder m oder n ungerade)

Aus dem Quadrat der Gleichung (i) folgt: $\begin{eqnarray*} \frac {m}{n}^{2}=(\sqrt{3})^{2} <br /> = m^{2}=3n^{2} \end{eqnarray*}$ .

Einschub: Bedingung für Teilbarkeit durch die Zahl 3: $\begin{eqnarray*} m=3*k, k \in N \end{eqnarray*}$ )

Aus $\begin{eqnarray*} m^{2}=3n^{2} \Rightarrow m^{2} \end{eqnarray*}$ teilbar durch Zahl 3 und folglich auch für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ .

Zum Beweis des Widerspruchs wird nun der Einschub in (i) eingesetzt, woraus $\begin{eqnarray*} m^{2}=(3*k)^{2}=3*n^{2}\Rightarrow n=1, \end{eqnarray*}$

In diesem Falle liegt ein Widerspruch zur Annahme vor dass $\begin{eqnarray*} m,n \end{eqnarray*}$ teilerfremd sind. Folglich ist $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

Hättet ihr hier zur Beweisführung noch Anmerkungen? Wie detaiilliert hat der Beweis zu erfolgen?

VG erstsemester

19.10.2018, 01:20

005

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RE: Beweis Irrationaler Zahl

Zitat:

Wie detaiilliert hat der Beweis zu erfolgen?

Mindestens so detailliert, dass Du selber dran glaubst, was bewiesen zu haben.

Grob gesagt, ist dein Beweis eine schlampige Adaption von " $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist irrational." -- Du hast einfach eine $\begin{eqnarray*} 3 \end{eqnarray*}$ aus der $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ gemacht, aber die Pointe nicht angepasst.

Warum kann man denn nicht genau so auch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ irrational ist?

19.10.2018, 02:27

erstsemester

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du bist herzlichst aufgefordert mich nach meiner zweiten mathe-Vorlesung mit der Beweis-Formulierung zu unterstützen.

Hatte versucht mit den bestehenden Boardmitteln aus der VL einen Beweis zu konstruieren, offenbar nicht so gelungen.

Wie würdest du den Beweis führen?

VG

19.10.2018, 02:47

005

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Der Beweis von " $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} \end{eqnarray*}$ ist irrational" aus Deiner Vorlesung laesst sich fuer " $\begin{eqnarray*} \sqrt{3} \end{eqnarray*}$ ist irrational" adaptieren, da liegst Du ganz richtig. Allerdings fehlt Deiner Adaption etwas ganz Wesentliches. Was das ist, bekommst Du raus, wenn Du nach der gleichen Methode versuchst, " $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ ist irrational" zu beweisen. Da muss ja jetzt ein Fehler in der Schlussweise sein, den es vorher nicht gab.

19.10.2018, 06:50

Leopold

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siehe auch hier

20.10.2018, 19:40

erstsemester

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$\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ kann nicht als irrationale Zahl dargestellt werden, weil die OE $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ ist teilerfremd nicht gegeben ist. Es also einen ggt(m,n)>1 gibt. Dies dürfte doch bei allen geraden Zahlen der Fall sein.

20.10.2018, 21:09

forbin

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RE: Beweis Irrationaler Zahl
Hallo erstsemester,

gerade das erste Semester ist natürlich hart, weil man viele Fehler macht und diese um die Ohren gehauen bekommt. Lass dich davon nicht entmutigen, aber lass dich auch auf die Berichtigungen ein, auch wenn sie hochtrabend klingen sollten.

Ein paar Punkte, die mir in deinem Post aufgefallen sind:

Zitat:

Original von erstsemester

Sei nicht $\begin{eqnarray*} \sqrt {3} \in \mathbb Q \end{eqnarray*}$

Im Gegenteil. Du nimmst ja an, dass es rational ist. Das "nicht" ist also hier falsch.

Zitat:

(Info: Sind m,n teilerfremd, dann ist entweder m oder n ungerade)

Das hast du aber nicht aus einer Vorlesung oder?
Was ist mit $\begin{eqnarray*} ggT(3,5) \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Einschub: Bedingung für Teilbarkeit durch die Zahl 3: $\begin{eqnarray*} m=3*k, k \in N \end{eqnarray*}$ )

Das ist eigentlich keine Bedingung, sondern eine Substitution.

Im letzten Post schreibst du:

Zitat:

weil die OE $\begin{eqnarray*} \sqrt{4} \end{eqnarray*}$ ist teilerfremd nicht gegeben ist

.

1) OE bedeutet "ohne Einschränkung". Im Eingangspost hast du das richtig benutzt. Weißt du denn, wofür das steht?
2) teilerfremd bezieht sich auf auf zwei Argumente. $\begin{eqnarray*} a,b \text{ teilerfremd } :\Leftrightarrow ggT(a,b)=1 \end{eqnarray*}$ .
Du hast nur ein Argument angegeben.

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