Simultan diagonalisierbare Matrizen

19.10.2018, 14:16	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Simultan diagonalisierbare Matrizen Hallo zusammen, ich bin dabei eine Matrix $\begin{eqnarray} S \in GL_3(\mathbb R) \end{eqnarray}$ zu bestimmen , so dass $\begin{eqnarray} S^{-1}AS = S^{-1}BS \end{eqnarray}$ Diagonalmatrizen sind. Ich habe bereits alle EWe und Eigenräume bestimmt. Wichtig zur Bestimmung von S sind nun ja die Eigenräume. Da A und B bei mir kommutieren, sind sie auf jeden Fall simultan diagonalisierbar. Allerdings weiß ich nun nicht genau wie ich mir das S konstruiere. Ich weiß aber, dass man dafür 3 Vektoren aus den Eigenräumen brauch. Ich habe: $\begin{eqnarray} V(A,1)= Span(\{\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \}) \end{eqnarray}$ wurde korrigiert voher -2,-1-3 $\begin{eqnarray} V(A,2)= Span(\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(B,3)= Span(\{\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} \}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} V(B,-1)= Span(\{ \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \}) \end{eqnarray}$ korrigiert , vorher 2.vektor : -1 ,0,-1 Und es gilt natürlich: $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 = V(A,1) \oplus V(A,2) \end{eqnarray}$ Aber wie bestimme ich jetzt die 3 Vektoren für S ? Ich weiß, dass man jetzt die Eigenräume von A zu direkten Summen von Teileigenräumen von B-Eigenräumen machen muss. Aber ich weiß nicht was Teileigenräume sind und hier ist es ja leider nicht so einfach , als dass man die Eigenräume von B nicht noch teil zerlegen müsste. Was ich aber direkt sehe ist: $\begin{eqnarray} V(A,2) \end{eqnarray}$ ist sehr ähnlich zu $\begin{eqnarray} V(B,-1) \end{eqnarray}$ LG Snexx_Math EDIT: Hatte zwei Rechenfehler , wurden oben korrigiert. Jetzt sinds offentsichtliche direkte Summen. Aber schade, hätte gerne gewusst wie es geht wenns mal nicht so offentsichtlich ist.

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