Vollständige Induktion

19.10.2018, 17:50

Einstein1879

Vollständige Induktion

Moin,

zu zeigen sei, dass die Zahl $\begin{eqnarray*} 4^{n+1}+5^{2n-1} \end{eqnarray*}$ für jede natürliche Zahl durch 21 teilbar ist.

Das ganze zeige man mithilfe der Vollständigen Induktion.

Für n=1 ist das Ganze ja trivial.

$\begin{eqnarray*} 4^{1+1}+5^{2 \cdot 1-1}=21 \end{eqnarray*}$

Und damit ist der Induktionsanfang bewiesen.

Nun folgt der Induktionsschritt (IS) unter Verwendung der Induktionsvoraussetzung (IV):

$\begin{eqnarray*} 4^{(n+1)+1}+5^{2(n+1)-1}=4^{n+2}+5^{2n+1}=16 \cdot 4^n+5 \cdot 5^{2n} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 4^{(n+1)+1}+5^{2(n+1)-1}=\underbrace{4 \cdot 4^n+5^{2n-1}}_{IV}+12 \cdot 4^n+\frac{24}{5} \cdot 5^{2n} \end{eqnarray*}$

Da die Zahl 21 ein Vielfaches von 3 ist, können wir doch auch anstatt es mit 21 zu zeigen für die natürliche Zahl 3, oder? Denn dann wäre es ja mit dem letzten Ausdruck gezeigt.

19.10.2018, 19:04

klauss

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RE: Vollständige Induktion
Aus Deinem Induktionsschritt werde ich spontan nicht ganz schlau. Da scheint mir der Wurm drin zu sein.
Wichtig ist, dass man unter Verwendung des Induktionsanfang so umformt, dass die zu zeigende Behauptung offenkundig wird.
Das Standardvorgehen dieses Aufgabentyps sieht daher in etwa so aus:

$\begin{align*} 4^{n+2}+5^{2n+1}=4\cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1} =\left(25-21\right) \cdot 4^{n+1}+25\cdot 5^{2n-1} = ...? \end{align*}$

Wie geht es jetzt weiter?

Zitat:

Original von Einstein1879
Da die Zahl 21 ein Vielfaches von 3 ist, können wir doch auch anstatt es mit 21 zu zeigen für die natürliche Zahl 3, oder? Denn dann wäre es ja mit dem letzten Ausdruck gezeigt.

Was willst Du damit sagen? Eine Zahl, die durch 3 teilbar ist, muß doch noch lange nicht durch 21 teilbar sein. Umgekehrt sieht es anders aus.

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