Kurvenlänge=Fläche

19.10.2018, 20:25

Dopap

Kurvenlänge=Fläche

bei der Frage $\begin{eqnarray*} \int_a^b\sqrt{1+y'(x)^2}\dd x =\int_a^b y(x)\dd x \end{eqnarray*}$ komme ich nach Trennung der Variablen auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{y^2 -1}}\dd y=\int 1 \dd x \end{eqnarray*}$ und letztendlich auf $\begin{eqnarray*} y(x)= \cosh(x+c) \end{eqnarray*}$ . Wegen $\begin{eqnarray*} \cosh(x)>0 \end{eqnarray*}$ dürfte Quadrieren in Ordnung sein.

Irgendwie sind jetzt aber vor lauter DGL-Begeisterung die Grenzen abhanden gekommen.

Rein optisch dürfte das aber auch kein Problem darstellen?

20.10.2018, 10:49

Leopold

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Was ist hier genau gegeben und was gesucht?

Das folgende Beispiel illustriert die Problematik. Ich nehme $\begin{eqnarray*} a<0<b \end{eqnarray*}$ an und definiere $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ durch

$\begin{eqnarray*} f(x) = \begin{cases} \cosh(x), & x \leq 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ wohldefiniert und überall differenzierbar:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = \begin{cases} \sinh(x), & x \leq 0 \\ 0, & x \geq 0 \end{cases} \end{eqnarray*}$

Jetzt gilt einerseits

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} ~ \dd x \ = \ \int_a^0 \sqrt{1 + \sinh^2(x)} ~ \dd x \ + \ \int_0^b \sqrt{1 + 0^2} ~ \dd x \ = \ \int_a^0 \cosh(x) ~ \dd x \ + \ \int_0^b \dd x \ = \ b + \sinh(-a) \end{eqnarray*}$

und andererseits

$\begin{eqnarray*} \int_a^b f(x) ~ \dd x \ = \ \int_a^0 \cosh(x) ~ \dd x \ + \ \int_0^b \dd x \ = \ b + \sinh(-a) \end{eqnarray*}$

und somit

$\begin{eqnarray*} \int_a^b \sqrt{1 + \left( f'(x) \right)^2} ~ \dd x \ = \ \int_a^b f(x) ~ \dd x \end{eqnarray*}$

20.10.2018, 20:01

Dopap

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ich hab' die Frage nur aufgeschnappt und dann rumprobiert.

Gesucht ist anscheinend eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und nicht konstant und wahrscheinlich stetig diffbar auf R mit "Strecke = Fläche" im Intervall.

Jetzt ist mir nicht ganz klar, was du mit deiner selbstdefinierten Funktion mir zu erklären versuchst?

20.10.2018, 21:18

Leopold

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Nun, sie löst deine Gleichung, ist aber nicht von der von dir genannten Art.

21.10.2018, 09:10

Huggy

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RE: Kurvenlänge=Fläche

Zitat:

Original von Dopap
bei der Frage $\begin{eqnarray*} \int_a^b\sqrt{1+y'(x)^2}\dd x =\int_a^b y(x)\dd x \end{eqnarray*}$ komme ich nach Trennung der Variablen auf $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\sqrt{y^2 -1}}\dd y=\int 1 \dd x \end{eqnarray*}$

Irgendwie sind jetzt aber vor lauter DGL-Begeisterung die Grenzen abhanden gekommen.

Das ist keine zulässige Umformung. Ich vermute mal, die Aufgabe ist so gemeint:

$\begin{eqnarray*} \int_a^x\sqrt{1+y'(t)^2}\dd t =\int_a^x y(t)\dd t \end{eqnarray*}$

Dann kann man nämlich die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ableiten, wodurch die Integrale wegfallen und man zu deiner DGL kommt.

Edit: @Dopap
Ein Hinweis zu der von Leopold aufgeworfenen Frage: Dabei geht es um ein oft übersehenes oder vergessenes Detail bei der Lösung von Differentialgleichungen durch Trennung der Variablen. Das ist hier im Forum schon beliebig oft aufgegriffen worden.

21.10.2018, 19:58

Dopap

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o.k. muss da nochmals nachschauen.

Es gab keine Aufgabe, nur eine Skizze mit Kurvenstück im Intervallstreifen und darunter schraffierte Fläche bis x-Achse mit der Frage : finde eine Funktion mit S=A.

Das ist mir anscheinend gelungen, auch wenn der Weg Ungenauigkeiten enthielt. Aber gefunden ist eben gefunden Augenzwinkern

22.10.2018, 09:33

Huggy

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Zitat:

Original von Dopap
Aber gefunden ist eben gefunden Augenzwinkern

Wenn einen das zufriedenstellt, reicht

$\begin{eqnarray*} y(x)=1 \end{eqnarray*}$

als Lösung.

22.10.2018, 12:37

Dopap

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Zitat:

Original von Dopap

Gesucht ist anscheinend eine Funktion $\begin{eqnarray*} y(x)\geq 0 \end{eqnarray*}$ und nicht konstant und wahrscheinlich stetig diffbar auf R mit "Strecke = Fläche" im Intervall.

das konnte ich der Skizze entnehmen.
Einfach auch mal lesen was gepostet wurde.

22.10.2018, 13:17

Huggy

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Weil die Skizze keine konstante Funktion zeigte, schließt du, dass das keine erlaubte Lösung sei? Das halte ich für einen unzulässigen Schluss. Wenn du aber das Problem unter dieser Voraussetzung betrachten wolltest, hättest du das ganz zu Anfang schreiben sollen. Dann wäre betreffs deiner Lösung noch immer der Einwand von Leopold zu beachten.

Ich will ganz offen sein. Du stellst öfters ganz interessante Fragestellungen ins Forum. Das finde ich lobenswert. Wenn es dann aber um die Diskussion möglicher Lösungen geht, ist bei dir plötzlich Funkstille oder Dünnbrettbohrerei gemischt mit flapsigen Bemerkungen. Das finde ich ganz und gar nicht lobenswert. Dadurch gehen oft auch für Mitleser interessante Aspekte verloren.

Wenn man eine interessante Fragestellung ins Forum stellt, sollte man meiner Meinung nach auch dazu beitragen, dass sie entsprechend gewürdigt werden kann. Das geht nicht, wenn man einen Einwand wie den von Leopold mit einer Bemerkung abtut, hab doch ne Lösung gefunden.

Nichts für ungut, würde der Bajuware jetzt anfügen. Aber ich fürchte, du wirst mir meinen Kommentar übelnehmen.

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