Grenzwertsätze von Folgen

20.10.2018, 12:23	ebleg	Auf diesen Beitrag antworten »
Grenzwertsätze von Folgen Meine Frage: Berechnen Sie durch Umformungen und Anwenden der Grenzwertsätze jeweils den Grenzwert der Folge. $\begin{eqnarray} a_n= \frac{(n+1)(n-1)}{n^5+7} \end{eqnarray}$ Erweitern mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{???} \end{eqnarray}$ liefert ???/??? . Und dann den Grenzwert der einzelnen Summanden $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } ??? = ??? \end{eqnarray}$ (für insgesamt 4 Summanden) ??? --> Platzhalter Meine Ideen: mithilfe der binom. Form. ausmultiplizieren $\begin{eqnarray} =\frac{n^2 -1}{n^5 -7} \end{eqnarray}$ aber womit erweitern ? Was sind die Grenzwerte der einzelnen Summanden? Vielen Dank im VORRAUS!
20.10.2018, 13:35	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac {n^2-1}{n^5-7}=\frac {n^2}{n^5-7}-\frac 1 {n^5-7}=\frac 1 {n^3-\frac 7 {n^2}}-\frac 1 {n^5-7} \end{eqnarray}$ Dem sieht man sicher an, wohin die Folge für $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ gegen unendlich geht. Man kann auch $\begin{eqnarray} n^5-7 \end{eqnarray}$ mit Rest durch $\begin{eqnarray} n^2-1 \end{eqnarray}$ dividieren, der Kehrwert davon liefert dieselbe Folge. Weil Zähler und Nenner gegen unendlich gehen, kann man auch 2 mal l'Hospital anwenden.

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