Cosinus-Reihe bestimmen und Wert berechnen

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LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »
Cosinus-Reihe bestimmen und Wert berechnen
Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimmen Sie die Cosinus-Reihe der Funktion (wobei ) und berechnen Sie damit den Wert der Reihe .

Ich habe nun zuerst die Fourierreihe für berechnet und komme auf:



Und


Und nun soll ich den Wert der obigen Reihe berechnen. Wie mache ich das? Wir haben dazu noch nichts aufgeschrieben in unserer Vorlesung.

Kann mir bitte wer weiterhelfen? verwirrt Gott
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Der Summationsindex heißt bei dir . So sollte er auch durchgehend beim Reihenglied heißen.

Setze in



für und ein. Du erhältst so zwei Gleichungen in den Größen



Das ergibt ein lineares Gleichungssystem in . Du bekommst auf diese Weise auch noch gleich den Wert der nicht alternierenden Reihe.
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Tut mir leid, da habe ich mich mit den Indizes verrennt.

Wenn ich für x=0 einsetze, dann komme ich auf:


Aber niemals auf so etwas schönes wie bzw. .
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch nur ein kleiner Schritt:



Ich habe übrigens erhalten.
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde auf:



laut Wolfram Alpha kann man das auch schreiben als:


Ich verstehe nur nicht wie man darauf kommt. Also ich vermute, dass man über den natürlichen Logarithmus geht, denn das würde mit dem Ergebnis zusammenpassen, aber kann ich das so einfach machen damit sich meine e-Funktionen "auflösen" ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Erweitere deinen zweiten Bruch in der Klammer mit , dann hast du denselben Nenner wie beim ersten Bruch und kannst die Brüche addieren. Beachte schließlich



Damit kannst du in Zähler und Nenner sämtliche Exponentialterme substituieren.
 
 
LuciaSera Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt! Dann komme ich auf genau das gleiche Ergebnis wie du! smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »





Man kann diese Gleichungen auch umgekehrt deuten. Löst man sie nach beziehungsweise auf, so führt dies auf Partialbruchzerlegungen für die Funktionen.
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