Topologie

20.10.2018, 14:08	Statista	Auf diesen Beitrag antworten »
Topologie Meine Frage: Sei (X,d) ein metrischer Raum, zeigen Sie: Die von der Metrik induzierte Topologie auf X ist die gröbste, so dass für jedes x' aus X die Abbildung x -> d(x,x') stetig ist. Meine Ideen: Die von der Metrik induzierte Topologie dürfte die sein, die aus den metrisch-offenen Teilmengen besteht. Jetzt wollte ich zeigen, um die Stetigkeit nachzuweisen, dass das Urbild einer beliebigen offenen Menge wieder offen ist. Doch hier scheitere ich gerade irgendwie. Und dann muss ich ja auch noch zeigen, dass es keine Topologie gibt, die eine echte Teilmenge meiner induzierten Topologie ist, sodass die oben genannte Abbildung stetig ist.
20.10.2018, 14:47	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich würde so vorgehen: Sei $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ eine beliebige Topologie, für die die benannten Abbildungen stetig sind. Wir zeigen nun, dass eine beliebige bezüglich $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ offene Menge auch offen bezüglich $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ ist. Da sich jede bezüglich $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ offene Menge als Vereinigung von Kugeln bezüglich $\begin{eqnarray} d \end{eqnarray}$ schreiben lässt, reicht es, zu zeigen, dass so eine Kugel offen bezüglich $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ ist. Sei also $\begin{eqnarray} x\in X \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon>0 \end{eqnarray}$ . Zeige $\begin{eqnarray} B(x,\epsilon) := \{y\in X:~d(x,y)<\epsilon\} \end{eqnarray}$ ist offen bezüglich $\begin{eqnarray} \tau \end{eqnarray}$ .

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »