Surjektivität, Komposition

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20.10.2018, 18:19	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität, Komposition Hallo, ich komme bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter: Ich soll beweisen, dass gilt: $\begin{eqnarray} (f: X \rightarrow Y \ ist \ surjektiv) \Leftrightarrow ((\forall B \ und \ \forall b,b': Y \rightarrow B): b \circ f = b' \circ f \Rightarrow b = b') \end{eqnarray}$ Dabei ist B eine Menge Mein Ansatz für die Richtung -->: $\begin{eqnarray} <br /> \forall y \in Y \ \exists x \in X: f(x)=y <br /> <br /> \ (Es \ gilt: \forall t \in B: b(y) = t \ und \ b'(y)=t')<br /> <br /> \ Wir \ setzen \ ein: b(f(x)) = t \ und \ b'(f(x)) = t' <br /> <br /> \ \Rightarrow b = b'<br /> \end{eqnarray}$ Ich bin mir unsicher ob ich zum Schluss einfach b = b´ folgern darf. Was denkt ihr? Mein Ansatz für die Richtung <--: $\begin{eqnarray} <br /> Sei \ y \in Y. <br /> <br /> \ b(f(x)) = b'(f(x))<br /> \end{eqnarray}$ An dieser Stelle weiß ich nicht mehr weiter. Kann mir bitte wer einen Tipp geben? Vielen Dank im Voraus! Mfg yeees
21.10.2018, 11:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Beweis für die -->Richtung ist falsch, b und b' sind nicht als surjektiv vorausgesetzt, also muss für alle t,t' in B nichts gelten. Damit die Aufgabe intuitiv verständlich wird, sollte man B,b,b' durch Z,g,h ersetzen. Und jetzt kommen die konstruktiven Tipps: Aussagenlogik: $\begin{eqnarray} ((A\Rightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot B\Rightarrow \lnot A))\Rightarrow ((A\Leftrightarrow B)\Leftrightarrow (\lnot A\Leftrightarrow \lnot B)) \end{eqnarray}$ In der negierten Form der Aussagen lässt sich die Aufgabe wesentlich leichter bearbeiten, denn statt alle möglichen Mengen und Abbildungen zu betrachten (was schwierig ist ) kann man konstruktiv mit Beispielen und Gegenbeispielen arbeiten.
21.10.2018, 21:00	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Antwort. Ich bin mir allerdings nicht sicher ob ich das richtig verstanden habe. Ich muss nun also beweisen, dass gilt: f ist nicht surjektiv $\begin{eqnarray} \Leftrightarrow (\exists Z \wedge \exists g,h: Y \to Z): g \circ f \neq h \circ f \Rightarrow g \neq h \end{eqnarray}$ Und jetzt muss ich noch Gegenbeispiele finden?
21.10.2018, 21:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja das ist doch von links nach rechts kinderleicht. Die Umkehrung erfordert vielleicht einen Gedanken mehr.
21.10.2018, 22:36	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ein Beispiel für -->: $\begin{eqnarray} g (y) = 2y \\ h (y) = 5y \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \Rightarrow (g(x^2) \neq h(x^2) \Rightarrow g \neq h) \\ \Rightarrow (2x^2 \neq 5x^2 \Rightarrow 2x \neq 5x) \end{eqnarray}$ Ist das so richtig? An der anderen Richtung arbeite ich gerade noch.
21.10.2018, 22:54	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry ich habe nicht aufgepasst. Die Negation der rechten Aussage ist falsch.
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21.10.2018, 23:01	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätte mich auch gewundert, wenn dies auf Anhieb gepasst hätte Ich weiß leider nicht was ich verändern muss. Die Quantoren müssten passten oder?
21.10.2018, 23:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, die Implikation ist falsch. Die Kompositionen sind gleich und es folgt nicht, dass g und h verschieden sind. Mit anderen Worten : außerhalb f(X) kann man f unterschiedlich fortsetzen.
21.10.2018, 23:25	yeees	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok. Also ein Beispiel hierfür: $\begin{eqnarray} g(y) = y \\ h(y) = y^2 \\ f(x) = 0 \Rightarrow (g(0) = h(0) \Rightarrow g \neq h) \\ \Rightarrow (0 = 0 \Rightarrow y \neq y^2) \end{eqnarray}$ Stimmt das?
22.10.2018, 08:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann etwas werden, wenn du die Mengen X, Y, Z aufschreibst. So wie es da steht, ist es unvollständig und teilweise falsch. Aus 0=0 kann man sicher nicht schließen, dass g ungleich h ist.

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