Beweis zu Eigenwerten

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Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis zu Eigenwerten
Hallo zusammen,

Bei folgender Aufgabe könnte ich Hilfe vertragen:

Sei .

Zeige Sie:
a)
Falls n ungerade ist, hat A einen reellen Eigenwert.

Hier verstehe ich schon nicht warum eine reelle Matrix einen nicht reellen EW haben soll. Und warum dann gerade wenn n ungerade ist. Hier hab ich schon alleine Schwierigkeiten , weil es für mich unbegreiflich ist warum ein komplexer Eigenwert möglich sein soll.

b)
Ist ein Eigenwert von A , so ist auch ein EW von A.
Hier hängt das Problem an selber Stelle da A ja eine reele Matrix ist.

Danke für jede Hilfe ! smile

LG

Snexx_Math
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RE: Beweis zu Eigenwerten
Beides lässt sich mit dem charakteristischen Polynom erklären.
 
 
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Eigenwerten
Also zu a) kommt mir gerade eine Idee:

Das charakteristische Polynom hat einen ungeraden Grad , wenn n ungerade ist , also verhält sich das Polynom im Unendlichen unterschiedlich sprich: Eine Seite strebt gegen + Unendlich und die andere gegen -Unendlich . Also muss es eine Nullstelle geben , da dies dem Schnittpunkt an der reelen X-Achse entspricht , folgt damit dass es einen reellen EW geben muss. Richtig ?
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RE: Beweis zu Eigenwerten
Freude
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Eigenwerten
Und für die b) kommt mir gerade auch ein Ansatz.

Wenn A den besagten EW besitzt dann wurde die Wurzel aus einer negativen Zahl gezogen und somit erhält man die Form : daraus folgt , dass auch das komplex konjugierte EW ist.

Ebenfalls richtig ? Augenzwinkern
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RE: Beweis zu Eigenwerten
Dann musst du aber begründen, warum quadratische Terme eine besondere Rolle spielen.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Eigenwerten
Inwiefern ? Also ja ich brauche ne quadratische Gleichung um dann die P-Q-Formel draufanzuwenden, aber das war es dann doch oder ?
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RE: Beweis zu Eigenwerten
Wie kommst du von einem charakteristischen Polynom vom Grad sagen wir mal 19 zu einer quadratischen Gleichung?
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Eigenwerten
Intuitiv würde ich jetzt einfach mal sagen: Polynomdivision ?! verwirrt
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RE: Beweis zu Eigenwerten
und was willst du wodurch dividieren? verwirrt
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Eigenwerten
Ok da bin ich wohl aufgeschmissen. Habe aber auch keine andere Idee wie ich an meinen quadratischen Term komme. Was macht man da ?
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RE: Beweis zu Eigenwerten
Man zeigt gleich allgemein, dass für ein Polynom mit reellen Koeffizienten gilt.
Snexx_Math Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis zu Eigenwerten
Ok und wie zeige ich das jetzt ? Mit komplexen Zahlen hab ichs echt nicht unglücklich
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RE: Beweis zu Eigenwerten
Man benutzt nur die Rechenregeln der komplexen Konjugation und den Umstand, dass eine reelle Zahl mit ihrer konjugierten übereinstimmt.
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